Grupos Cristalográficos e Empacotamentos de Esferas

O 18$^{\mathrm{o}}$ problema proposto por Hilbert no Congresso Internacional de Matem\'{a}tica de 1900 coloca duas quest\~{o}es, dois desafios, a serem enfrentados pela comunidade matem\'{a}tica. Iremos tratar aqui do primeiro problema, sobre grupos cristalogr\'{a}ficos, e da parte do segundo \smallskip que se refere especificamente ao problema de empacotamento de esferas.Cada uma das duas quest\~{o}es \'{e} tratada em uma se\c{c}\~{a}o, ambas as se\c{c}\~{o}es estruturadas de modo similar. Como optamos por escrever um texto dirigido a um p\'{u}blico razoavelmente amplo, pessoas com alguma forma\c{c}\~{a}o matem\'{a}tica (como alunos em final de gradua\c{c}\~{a}o) mas sem conhecimento espec\'{i}fico da \'{a}rea, fazemos uma introdu\c{c}\~{a}o relativamente longa ao tema, procurando introduzir os conceitos necess\'{a}rios de forma clara e precisa (duas qualidades que nem sempre coincidem). Esperamos com isto que este p\'{u}blico amplo possa ao menos entender a formula\c{c}\~{a}o mate\'{a}tica dos problemas, mesmo que tenha dificuldade em acompanhar os resultados posteriores. Para n\~{a}o truncarmos este trabalho e torn\'{a}-lo demasiadamente t\'{e}cnico, apresentamos os conceitos e resultados no corpo do texto, evitando um estilo existente de textos matem\'{a}ticos pautado por \'{i}tens declarat\'{o}rios (Teorema 2.X, Lema Y.Z, Defini\c{c}\~{a}o A.B.C, etc...). Infelizmente, por tratarmos de forma bastante breve quest\~{o}es bastante complexas e profundas, n\~{a}o pudemos evitar as tradicionais (e geralmente deplor\'{a}veis) express\~{o}es do tipo ''\'{e} facil demonstrar que...''. No entanto, tentamos ser criteriosos neste aspecto e sempre que tivemos d\'{u}vidas sobre a demonstra\c{c}\~{a}o ser ou n\~{a}o realmente f\'{a}cil, procuramos indicar um caminho para demonstr\'{a}-la ou indicar uma refer\^{e}ncia bibliogr\'{a}fica adequada e acess\'{i}vel. Ap\'{o}s esta introdu\c{c}\~{a}o, tentamos tra\c{c}ar um pequeno apanhado de alguns t\'{o}picos relacionados \`{a}s quest\~{o}es, diferenciando os resultados conhecidos na \'{e}poca da realiza\c{c}\~{a}o do Congresso dos desenvolvimentos posteriores. Passamos longe da pretens\~{a}o de esgotar o assunto, de fazer uma resenha abrangente sobre as \'{a}reas em quest\~{a}o, mas estas existem e est\~{a}o listadas nas refer\^{e}ncias bibliogr\'{a}ficas.