Relatório de Pesquisa de Iniciação Científica: Processos de renovação e aplicações

Esta pesquisa tem como objetivo apresentar a teoria dos processos de renovação, uma generalização dos processos de Poisson, e seus principais teoremas limites, bem como trazer diversos exemplos em que a teoria é aplicada de forma prática e realista na modelagem de problemas do cotidiano. Assim, reforça-se a sua utilidade em diversas áreas, ao contemplar, por exemplo, estimativas de durabilidade de aparelhos eletrônicos, estudo de filas e análise do desempenho de sistemas e máquinas de estados.

O presente texto é uma versão expandida do relatório final da bolsa PIBIC de Iniciação Científica do aluno Pedro Matos Pevide, sob a orientação de Elcio Lebensztayn, projeto intitulado "Processos de renovação e aplicações". Aqui desenvolvemos mais exemplos de aplicação da teoria e demonstrações adicionais ou mais detalhadas. Com enfoque primordialmente teórico, a pesquisa foi realizada, principalmente, a partir dos livros de Kulkarni (2011), Durrett (2016) e Ross (2023a), e complementada, quando necessário ou buscando maior clareza, com Mitov e Omey (2014). Na última seção, aborda-se o tópico de simulações, modelando em Python cenários onde a teoria se aplica, a fim de obter medidas a longo prazo dos processos e esclarecer comportamentos probabilísticos por meio de gráficos e listas, ampliando, assim, o escopo aplicado-computacional da pesquisa.

A Seção 1 contém a definição de um processo de renovação e introduz suas principais terminologias, notações e teoremas limites, construindo os fundamentos necessários para as próximas seções. Passando para a Seção 2, o conhecimento anterior é utilizado para desenvolver o conceito de renovação com recompensa, ilustrado em cenários envolvendo filas, ferrovias e compras.

Utilizando-se do caráter renovador dos processos abordados, a análise do aparecimento de padrões em sequências de eventos é o foco da Seção 3, contemplando tanto variáveis aleatórias discretas quanto contínuas, assim como sobreposição de padrões, tempos esperados para uma sequência máxima e seguidas crescentes de variáveis aleatórias.

O estudo detalhado de filas com um servidor, na Seção 4, contempla as filas GI/G/1, com o tratamento da famosa Fórmula de Little, e as filas M/G/1, com a definição de uma cadeia de Markov associada e a análise do período médio ocupado do servidor e do tempo médio de espera na fila. A Seção 5 é dedicada aos processos semimarkovianos, com a exposição dos conceitos básicos e teoremas relacionados ao comportamento a longo prazo.

Finalmente, a Seção 6, baseada em Ross (2023b), introduz o conceito de simulação de eventos discretos e apresenta dois cenários modelados em Python: filas paralelas em um estabelecimento e a evolução do patrimônio de uma seguradora. Por meio da simulação desses cenários, busca-se analisar seus comportamentos a longo prazo, com o estudo de características essenciais como o tempo médio de espera para uma fila estável e a probabilidade de falência da seguradora em função dos parâmetros do modelo.