In recent years, the phase-field methodology has achieved considerable importance in modeling and numerically simulating a range of phase transitions and complex growth structures that occur during solidification processes. In attempt to understand the mathematical aspects of such methodology, in this article we consider a simplified model of this sort for a nonstationary process of solidification/melting of a binary alloy with thermal properties. The model includes the possibility of occurrence of natural convection in non-solidified regions and, therefore, leads to a free-boundary value problem for a highly non-linear system of partial differential equations consisting of a phase-field equation, a heat equation, a concentration equation and a modified Navier-Stokes equations by a penalization term of Carman-Kozeny type, which accounts for the mushy effects, and Boussinesq terms to take in consideration the effects of variations of temperature and concentration in the flow.A proof of existence of weak solutions for the system is given. The problem is firstly approximated and a sequence of approximate solutions is obtained by Leray-Schauder's fixed point theorem. A solution of the original problem is then found by using compactness arguments.
Em anos recentes, a metodologia do campo de fases tem adquirido considerável influência no modelamento e na simulação de várias situações de transição de fases e crescimento de estruturas complexas que ocorrem durante processos de solidificação. Na tentativa de entender os aspectos matemáticos desta metodologia, neste artigo nós consideramos um modelo simplificado deste tipo par um processo não estacionário de solidificação/liquefação de uma liga binári com propriedades termais. O modelo inclui a possibilidade de ocorrência de convecção natural na regiões não solidificadas e, portanto, leva a um problema de fronteira livre para um sistema de equações diferenciais parciais altamente não lineares que consistem na equação para o campo de fases, a equação de condução de calor, a equação da concentração e uma equação de Navier-Stokes modificada por um termo de penalização do tipo Carman-Kozeny que leva em conta os efeitos nas zonas mushy e temos do tipo Boussinesq que levam em conta os efeitos das variações térmicas e de concentração no fluxo.Uma prova da existência de soluções fracas para tal sistema é dada. O problema é primeiramente aproximaddo e uma sequência de soluções aproximadas é obtida usando o teorema de ponto fixo de Leray-Schauder. Uma solução do problema original é então obtida usando-se argumentos de compacidade.
