Processos estocásticos são bastante importantes na modelagem científica, e a análise de suas propriedades depende de ferramentas provenientes de vários campos da Matemática. Ademais, têm sido utilizados para iluminar problemas em muitas áreas, como a Biologia, Ciências Sociais e Engenharia. Como referências introdutórias à área, citamos os livros de Grimmett e Stirzaker (2001), Pinsky e Karlin (2011), Schinazi (2014) e Durrett (2016).
Este texto se baseia no relatório final da bolsa FAPESP de Iniciação Científica de Vicenzo Bonasorte Reis Pereira, sob a orientação de Élcio Lebensztayn, projeto intitulado “Tópicos de Processos Estocásticos”, N. 20/12010-4. Iniciamos com o passeio aleatório simples na reta, incluindo-se aí o Princípio da Reflexão e o Teorema da Eleição. A partir desses resultados, seguimos com o Teorema do tempo de primeira passagem em um ponto e a Lei do arco seno para o tempo da última visita à origem.
No Capítulo 2, dedicamo-nos às funções geradoras de probabilidade, com as definições e resultados principais apresentados na Seção 2.1. Na Seção 2.2, ilustramos a utilidade dessa ferramenta na análise do tempo de retorno à origem, recorrência/transitoriedade e tempo de primeira visita a um ponto para o passeio aleatório simples em Z.
Abordamos no Capítulo 3 o processo de ramificação de Bienaymé–Galton–Watson: os momentos do processo e o Teorema fundamental sobre a extinção e sobrevivência são tratados na Seção 3.1, e o caso linear fracionário na Seção 3.2. Com base no livro de Schinazi (2014), apresentamos nas Seções 3.3, 3.4 e 3.5 três interessantes aplicações do processo de ramificação à Biologia.
Os Capítulos 4 e 5 também são fundamentados em Schinazi (2014). Na Seção 4.1, formulamos a definição e o resultado principal do processo de ramificação binária a tempo 1 2 contínuo; as Seções 4.2, 4.3 e 4.4 trazem o estudo de três processos que modelam sistemas biológicos. No Capítulo 5, fazemos uma breve introdução à Teoria da Percolação.
