Martingais: Teoremas e aplicações

Resumo:
A teoria de martingais tem suas raízes em estratégias de apostas que se disseminaram na França, no século XVIII, visando a assegurar ganhos em jogos justos. Do ponto de vista histórico, Lévy (1948) foi o primeiro a explorar, em processos estocásticos, propriedades que hoje conhecemos como martingais. O conceito moderno surge com Ville (1939), que introduziu o termo martingale e formulou a primeira definição, no contexto de jogos honestos. A consolidação rigorosa da teoria, com o estabelecimento dos primeiros resultados fundamentais, deve-se a Doob (1990). Atualmente, os martingais constituem uma ferramenta vital para a investigação e a análise de sistemas que evoluem aleatoriamente no tempo.

Este texto apresenta um estudo abrangente do tema, indo dos conceitos básicos a resultados avançados, com destaque para os teoremas centrais da teoria, Parada Opcional e Convergência de Martingais, além de aplicações em diferentes contextos. O trabalho foi desenvolvido como parte do projeto de Iniciação Científica de João Vitor Vieira de Castro, sob a orientação de Élcio Lebensztayn, com bolsa da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, realizado no Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, Unicamp.

O relatório se compõe das seguintes seções:
1. Introdução: Esperança condicional e martingais
2. Teoremas da Parada Opcional
3. Integrabilidade uniforme de variáveis aleatórias
4. Convergência de martingais
5. Desigualdades maximais e Convergência em L^p
6. Martingais reversos e Inferência Bayesiana
7. Martingais a tempo contínuo
8. Movimento browniano e martingais associados