Nível:
Pós-Graduação
Nome da disciplina:
Análise Funcional I
Número de Créditos:
4
Oferecimento:
Ambos os Períodos Letivos
Pré-requisito:
(não há)
Ementa:
Espaços normados e espaços de Banach. Desigualdades de Holder e Minkowski. Espaços de Banach de sequências e espaços de Banach de funções. Subespaço e espaço quociente. Espaços normados de dimensão finita e o teorema de Riesz. O teorema de Hahn-Banach e suas consequências. Representação de funcionais lineares nos espaços l_p e L_p. Teorema de Representação de Riesz. Teorema de Lax-Milgram. Dualidade. Espaços de Banach reflexivos. O teorema da limitação uniforme. O teorema da aplicação aberta e o teorema do gráfico fechado. Espaços com produto interno e espaços de Hilbert. Projeções ortogonais. Conjuntos ortonormais. Desigualdade de Bessel e identidade de Parseval. Operadores lineares e contínuos. Operadores compactos em espaços de Banach. Teorema espectral para operadores compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert. Topologia fraca e topologia fraca-estrela. O teorema de Banach-Alaoglu.
Conteúdo / Programa:
Espaços Normados e de Banach, "Definições, exemplos, completude e convergência em espaços normados."
Desigualdades Clássicas, "Desigualdades de Hölder e Minkowski; aplicações em espaços de funções e sequências."
Espaços de Banach Específicos, "Estudo dos espaços lp e Lp ; propriedades e exemplos."
Subespaços e Espaços Quociente, "Construção de subespaços e quocientes; propriedades e completude."
Espaços de Dimensão Finita, "Caracterização de espaços normados finito-dimensionais e o Teorema de Riesz."
Teorema de Hahn-Banach, "Extensão de funcionais lineares; consequências e aplicações geométricas."
Representação de Funcionais Lineares, "Representação no dual de lp e Lp; introdução à dualidade."
Teoremas Fundamentais, "Teorema de representação de Riesz; Teorema de Lax-Milgram e suas aplicações."
Dualidade e Reflexividade,"Dual de um espaço normado; caracterização de espaços reflexivos."
Teoremas de Aplicações Lineares, "Princípio da acotação uniforme; Teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado."
Espaços com Produto Interno e Hilbert, "Definição e propriedades de espaços de Hilbert; projeções ortogonais e conjuntos ortonormais."
Desigualdade de Bessel e Identidade de Parseval, "Teoremas fundamentais em espaços de Hilbert com bases ortonormais."
Operadores Lineares, "Definição e propriedades de operadores lineares e contínuos em Banach e Hilbert."
Operadores Compactos, "Operadores compactos e o teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos."
Topologias Fracas, "Topologia fraca e estrela fraca; Teorema de Banach-Alaoglu e compacidade fraca*."
Referência Bibliográfica:
1. Conway, John B. A course in functional analysis. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 96. Springer-Verlag, New York, 1990.
2. C. S. Honig, Análise Funcional e Aplicações, IME-USP.
3. E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley.
4. Taylor, Angus Ellis; Lay, David C. Introduction to functional analysis. Second edition. John Wiley & Sons, New York-Chichester-Brisbane, 1980.
5. H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Universitext, Springer, New York, 2011.
6. G. Bachman, L. Narici, Functional analysis, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2000.
7. Lax, Peter D. Functional analysis. Pure and Applied Mathematics. Wiley-Interscience, New York, 2002.
8. Botelho, Geraldo; Pellegrino, Daniel; Teixeira, Eduardo. Introduction to functional analysis. Translation of the third Portuguese edition. Universitext Springer, Cham, [2025], ©2025. xiii+340 pp.