Nível:
Graduação
Nome da disciplina:
Teoria Aritmética dos Números
Número de Créditos:
4
Oferecimento:
Ambos os Períodos Letivos
Pré-requisito:
(não há)
Ementa:
Estruturas algébricas (operações binárias, grupos, anéis e corpos). Axiomas de Peano e construção do anel dos números inteiros e racionais. Outros exemplos de anéis e corpos (polinômios, corpos quadráticos, inteiros de Gauss, Zm). Domínios euclideanos. Representação de números inteiros em bases diversas. Máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum e o Algoritmo de Euclides. Elementos irredutíveis e primos e critérios de divisibilidade. Domínios principais, fatoriais e o teorema fundamental da aritmética. Equações diofantinas de grau um. Sistemas residuais, congruências lineares e o teorema chinês do resto. Os teoremas de Euler e Wilson. Congruências de grau dois, símbolos de Legendre e Jacobi e Lei da Reciprocidade Quadrática. Ternas pitagóricas e números que podem ser escritos como soma de dois quadrados. Equações diofantinas notáveis. Ordem multiplicativa e raízes primitivas. Noções de criptografia.
Conteúdo / Programa:
1. Números inteiros. Divisibilidade e congruências. 2. Sistemas completos e reduzidos dos restos. 3. Congruências de grau um. Teorema de Bezout. 4. Teorema de Fermat - Euler e aplicações. 5. Sistemas lineares de congruências. Teorema chinês dos restos. Aplicações. 6. Equações diofantinas elementares. Aplicações: Ternas de Pitágoras, a equação diofantina x4 + y4 = z4. 7. Representações de números naturais como soma de quatro quadrados. 8. Congruências de grau dois. Símbolo de Legendre. 9. Lei da reciprocidade quadrática e aplicações.
Forma de Avaliação:
Por nota e frequência
Referência Bibliográfica:
1. José P. de Oliveira Santos, Intoducão à Teoria de Números , Colecão Matemática Universitária, IMPA, 2003.2. Abramo Hefez, Elementos de Aritmética , Textos Universitarios, SBM, 2006.3. S. C. Coutinho, Números Inteiros e Criptografia RSA, Série de Computação e Matemática, IMPA, 1997.4. G. E. Andrews, Number Theory , Dover Publicátions, 1971.5. N. Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography , Springer-Verlag, 1987.6. I. Niven, H.S. Zuckerman e H.L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers , 5th ed., Wiley, 1991.