Nível:
Graduação
Nome da disciplina:
Teoria Aritmética dos Números
Número de Créditos:
4
Oferecimento:
2º Período Letivo
Pré-requisito:
MA327
Ementa:
Estruturas algébricas (operações binárias, grupos, anéis e corpos). Axiomas de Peano e construção do anel dos números inteiros e racionais. Outros exemplos de anéis e corpos (polinômios, corpos quadráticos, inteiros de Gauss, Zm). Domínios euclideanos. Representação de números inteiros em bases diversas. Máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum e o Algoritmo de Euclides. Elementos irredutíveis e primos e critérios de divisibilidade. Domínios principais, fatoriais e o teorema fundamental da aritmética. Equações diofantinas de grau um. Sistemas residuais, congruências lineares e o teorema chinês do resto. Os teoremas de Euler e Wilson. Congruências de grau dois, símbolos de Legendre e Jacobi e Lei da Reciprocidade Quadrática. Ternas pitagóricas e números que podem ser escritos como soma de dois quadrados. Equações diofantinas notáveis. Ordem multiplicativa e raízes primitivas. Noções de criptografia.
Conteúdo / Programa:
1. Números inteiros. Divisibilidade e congruências.
2. Sistemas completos e reduzidos dos restos.
3. Congruências de grau um. Teorema de Bezout.
4. Teorema de Fermat - Euler e aplicações.
5. Sistemas lineares de congruências. Teorema chinês dos restos. Aplicações.
6. Equações diofantinas elementares. Aplicações: Ternas de Pitágoras, a equação diofantina x4 + y4 = z4.
7. Representações de números naturais como soma de quatro quadrados.
8. Congruências de grau dois. Símbolo de Legendre.
9. Lei da reciprocidade quadrática e aplicações.
Forma de Avaliação:
Por nota e frequência
Referência Bibliográfica:
1. José P. de Oliveira Santos, Intoducão à Teoria de Números, Colecão Matemática Universitária, IMPA, 2003.
2. Abramo Hefez, Elementos de Aritmética, Textos Universitarios, SBM, 2006.
3. S. C. Coutinho, Números Inteiros e Criptografia RSA, Série de Computação e Matemática, IMPA, 1997.
4. G. E. Andrews, Number Theory, Dover Publications, 1971.
5. N. Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, Springer-Verlag, 1987.
6. I. Niven, H.S. Zuckerman e H.L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed., Wiley, 1991.