Discrete characters and the non-split case of the $\Sigma^2$--Conjecture

Demonstramos a $\Sigma^2$-Conjectura para grupos metabelianos no caso de caracteres discretos, i.\'e.$$\Bbb{R}_{>0} \Sigma^2(G, \Bbb{Z})^c_{dis} = \Bbb{R}_{>0} \Sigma^2(G)^c_{dis} = (conv_{\leq 2} \Bbb{R}_{>0} \Sigma^1(G)^c)_{dis}.$$Demonstramos tamb\'em que quando $G$ \'e um grupo finitamente apresent\'avel e uma extens\~ao split de $M$ por $Q$, onde $M$ e $Q$ s\~ao abelianos, ent\~ao $[\chi]\in\Sigma^2(G)$ se e somente se existe um $CW$-complexo $W$ com um v\'ertice dotado de uma $Q_\chi$-a\c{c}\~ao cocompacta, onde $Q_\chi$ atua livremente sobre as arestas e as 2-c\'elulas, e $\pi_1(W)\simeq M$ como $Q_\chi$-m\'odulos.