Função de Green, Equações Integrais e o Oscilador Harmônico Fracionário

Apresenta-se um estudo da fun\c{c}\~ao de Green associada \`as equa\c{c}\~oes diferenciais do tipo el\'{\i}ptico. Constru\'{\i}mos a fun\c{c}\~ao de Green unidimensional, associada ao problema de Sturm-Liouville atrav\'es de duas metodologias, o chamado m\'etodo de Burkhardt, por quest\~oes hist\'oricas e o chamado m\'etodo de Sturm-Liouville. O caso de um oscilador harm\^onico unidimensional \'e apresentado como aplica\c{c}\~ao. Atrav\'es da metodologia das transformadas integrais, em particular a transformada de Fourier, discutimos o caso da equa\c{c}\~ao de Laplace num dom\'{\i}nio n\~ao limitado. Em resumo, apresentamos tr\^es maneiras distintas de se calcular a fun\c{c}\~ao de Green associada a um operador linear. Como uma aplica\c{c}\~ao da fun\c{c}\~ao de Green, introduzimos o conceito de equa\c{c}\~ao integral onde, em particular, no caso de uma equa\c{c}\~ao integral do tipo de Fredholm, a fun\c{c}\~ao de Green tem um papel importante, a saber, efetua a conex\~ao entre uma equa\c{c}\~ao diferencial ordin\'aria e a respectiva equa\c{c}\~ao integral. Atrav\'es da transformada de Laplace discutimos o chamado oscilador harm\^onico fracion\'ario de onde emerge naturalmente a fun\c{c}\~ao de Mittag-Leffler como uma extens\~ao natural da fun\c{c}\~ao exponencial.