Esta disciplina visa desenvolver nos estudantes de Licenciatura em Matemática tanto a intuição em torno dos conceitos de Análise, quanto o rigor por trás de formulação de questões matemáticas relacionadas com números e funções reais através do conceito de limite. Especificamente, o curso tem principalmente dois objetivos: apresentar as demonstrações dos principais teoremas visto no curso de Cálculo I, como o Teorema de Bolzano, de Weierstrass, do Valor Intermediário, do Valor Médio e o Teorema Fundamental do Cálculo e, além disso, fazer um estudo rigoroso sobre funções elementares, como as funções trigonométricas e as funções logarítmicas e exponenciais, formalizando alguns resultados e conceitos ensinados nos Ensino Médio. Espera-se também que se apresente aos alunos o contexto histórico dos temas estudados.
Nível:
Graduação
Nome da disciplina:
Introdução à Análise
Número de Créditos:
6
Oferecimento:
2º Período Letivo
Pré-requisito:
MA111
Ementa:
Os números reais. Sequências e séries, o número e é irracional; convergência de Cauchy; séries infinitas, testes da comparação, razão e integral; não-enumerabilidade dos números reais, Teorema de Bolzano-Weierstrass, divergência da série harmônica. Funções contínuas: limites, Teoremas de Bolzano, de Weierstrass e do Valor Intermediário, continuidade uniforme. Derivadas, extremos locais, o Teorema do Valor Médio, funções inversas. Integral. O Teorema Fundamental do Cálculo. Aplicações: funções trigonométicas, pi é irracional, as funções logarítmica e exponencial, aproximação por polinômios.
Conteúdo / Programa:
1. Fundamentos sobre os números reais: propriedades básicas; desigualdades, indução finita; necessidade da completude dos números reais. 2. Sequências e séries: sequências monótonas; o número e e sua irracionalidade; Critério de convergência de Cauchy; propriedades e exemplos de séries infinitas, Testes da comparação, razão e integral; não-enumerabilidade dos números reais, Teorema de Bolzano-Weierstrass, origem das séries infinitas, divergência da série harmônica. 3. Funções: limites, funções contínuas, Teoremas de Bolzano, de Weierstrass e do Valor Intermediário, continuidade uniforme. 4. Derivadas: derivada e propriedades, extremos locais e o Teorema do Valor Médio, funções inversas. 5. Integral: definição através de somas superior e inferior, O Teorema Fundamental do Cálculo; 6. Aplicações: estudo analítico das funções trigonométricas, demonstração de que π é irracional, as funções logarítmica e exponencial, aproximação por polinômios.
Objetivo:
Forma de Avaliação:
Por nota e frequência
Referência Bibliográfica:
1. Geraldo Ávila, Introdução à Análise Matemática. 2ª ed., E. Blucher, 1999.
2. Elon L. Lima, Análise Real, vol. 1, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 8a. ed., 2006
3. Michael Spivak, Calculus, 4th ed., Publish or Perish, Inc. Houston, Texas, 2008.