Fundamentos da Matemática

Exercícios

1. Sobre um grupo de 94 pessoas sabemos que
   - $52$ jogam futebol
   - $50$ jogam tênis
   -$46$ jogam voley.
   -$13$ jogam os três esportes.
   -$16$ jogam somente futebol
   -$13$ jogam somente tênis
   -$14$ jogam somente voley. Queremos saber
   - Quantas pessoas jogam somente dois esportes?.
   - Quantas pessoas jogam futebol é tênis?.
   - Quantas pessoas jogam futebol é vôlei?.
   - Quantas pessoas jogam tênis e vôlei?.
   -Quantas pessoas não jogam nenhum esporte ?.
   Solução

2. Considere a proposição $$P=\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},(x<6)\Rightarrow (x^2>36).$$ Determine se é verdadeira ou falsa e $\neg P$.
   Solução

3. Considere o conjunto universo $$U=\{a,b,c,1,\{2,a\},\{a,b,c\},2,3\}$$ e os conjuntos $$A=\{a,2,\{2,a\},1,c\}B=\{a,b,c,2,3\}$$ $$C=\{c,\{a,b,c\},b,3\}.$$ Calcule
   -$A \cap (B \triangle C) $.
   -$(A \cup B^c) \cap C $.
   -$(A \triangle B) \backslash C $ .
   -$(A^c \cap B^c) \cap C^c $.
   -$(A \backslash B^c) \triangle C $.
   Solução

4. Mostrar que $$[A\cup (B\cap C)]\cap C=(A\cup B)\cap C.$$
   Solução

5. Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
   a) $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C$.
   b) $C\subset A\Rightarrow (B\cap C)\subset (A\Delta B)^C$.
   c) $A\subset B\Rightarrow A\Delta B=B\cap A^C$.
   Solução

6. Sejam $A,~B$ e $C$ três conjuntos. Provar que:
   a) $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$.
   b) $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C) $.
   c) $(A\Delta B)\times C=(A\times C)\Delta (B\times C)$.
   Solução

7. Escreva as tabelas da verdade das seguintes proposições
   - $P\vee Q\Rightarrow R$
   - $(P\Rightarrow R)\wedge (Q\Rightarrow R)$
   - $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)$
   Solução

8. Mostre que a proposição $$(R\Rightarrow \mathrm{\neg }P)\wedge (R\wedge P)\wedge Q,$$ é uma contradição.
   Solução

9. Determine se cada uma das expressões a seguir é Tautologia ou Contradição.
   - $[(P\Rightarrow Q)\wedge \neg Q]\Rightarrow \neg P$.
   - $P\wedge \neg(Q\vee P)$.
   Solução

10. Provar, utilizando cálculo de proposições, que
    - $(P\Rightarrow R)\vee (Q\Rightarrow S)=(P\wedge Q\Rightarrow R\vee S)$
    - $(P\Rightarrow \neg Q)\Rightarrow (Q\Rightarrow \neg T)=(\neg P\rightarrow \neg Q)\vee (\neg P\Rightarrow\neg T)$
    Solução

11. Mostre a fórmula $$\mathrm{\neg }[P\iff Q]=\mathrm{\neg }P\iff Q$$
    Solução

12. Determine se os seguintes argumentos são válidos ou não. Transforme na linguagem simbólica e utilize tabelas da verdade ou cálculo proposicional para justificar o seu resultado.
    A)
    - Se $N=7$ então $N+1=8$.
    - Se $N=3$ então $N+1\neq 8$.
    - $N=3$.
    Logo $N\neq 7$.
    
    B)
    - Mestre Yoda não é verde.
    - Se Darth Vader é o pai de Luke então Mestre Yoda é verde.
    Logo Darth Vader é o pai de Luke .
    Solução

13. Achar o domínio das seguintes funções proposicionais
    - $(\mathbb{Z}, P(x))$ onde $P(x):x^2\leq 9$.
    - $(A,B, P(x,y))$ onde $A=\{-3,-2,-1,0,1,2\}$ e $B=\{-1,0,1,2,3,4\}$ e $P(x,y):x+y<1$.
    Solução

14. Negar as seguintes proposições
    - $\exists n\in\mathbb{N}$, $n^3=n+1$
    - $\forall x\in\mathbb{R}$, ~$x>2\Rightarrow x^3>7$
    Solução

15. Determine a linguagem simbólica da seguinte proposição e, depois, ache a contrapositiva da mesma:
    

    "Se todos os carros partiram na largada, então algum deles ganhou a competição."
    Solução

16. Considere a proposição
    

    $P=$"As necessidades de muitos se sobrepõem às necessidade de poucos"
    Descreva $P$ utilizando quantificadores e funções proposicionais e, depois, calcule a negação.
    Solução

17. Considere a proposição
    $$P=\mathrm{\forall }ϵ\in {\mathbb{R}}_{>0},\mathrm{\exists }\delta \in {\mathbb{R}}_{>0},\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}_{>0},0<x<\delta \Rightarrow 0<\sqrt{x}<ϵ$$ Determine
    - Se $P$ é verdadeira ou falsa.
    - $\neg P$.
    Solução

18. Provar que $10^n-1$ é divisível por $9$ para todo $n\geq 1$.
    Solução

19. Achar todas as relações de $A= \{ 1 \}$ em $B = \{ 1,2,3 \}$.
    Solução

20. Determinar se as relações a seguir são: reflexiva, simétrica , antisimétrica, transitiva de equivalência ou de ordem.
    -$A=\{ 1, 2, 3,4,5 \}$ e $R_1=\{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) \}$.
    -$A=\{ 1, 2, 3,4,5 \}$ e $$R_2=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(2,5),(1,5)\}.$$
    -$A=\mathbb{Z}$ e $R_3=\{ (a,b): |a| \leq | b | \}$.
    Solução

21. Sejam $A=\{ a, b, c, d, e, f \}$ e a seguinte relação de equivalência em $A$ $$R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(f,f),$$ $$(a,b),(b,a),(a,f),(f,a),(b,f),(f,b),(c,e),(e,c),\}.$$ Achar
    -A classe de equivalência de $b$.
    -A classe de equivalência de $c$.
    -A classe de equivalência de $d$.
    -A partição associada a $R$.
    Solução

22. 
    -Provar que a relação $R_1$ em $\mathbb{R}$ dada por
    

    $x \equiv y$ se existe $\alpha >0$ tal que $y =\alpha x$
    é de equivalência em e achar $[x]$.
    -Provar que a relação $R_2$ em $\mathbb{N}$ dada por
    $x \leq y$ se $x$ divide a $y$.
    é de ordem.
    Solução

23. Encontre a inversa o domínio e a imagem das seguintes relações. Represente geométricamente.
    - $R_1= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 =1 \}$.
    - $R_2= \{(x,y)\in \mathbb{Z}^2 : x^2 + y^2 =1 \}$.
    - $R_3= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x>y +1 \}$.
    Solução

24. Seja $A=\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. Achar e graficar a relação de equivalência em $A$ associada à partição $$\mathcal{F}=\{\{1,3\},\{2,6,7\},\{4,8,9,10\},\{5\}\}.$$
    Solução

25. Mostre os seguintes criterios de divisibilidade sobre $\mathbb{Z}$.
    a) Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
    b) Um número é divisível por 4 se os seus dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por 4.
    c) Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo for igual a 0 ou 5.
    d) Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
    e) Um número é divisível por 8 se seus últimos três algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8.
    f) Um número é divisível por 9 se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
    Solução

26. Provar que para todo $M>0$ existe um $n_0\in\mathbb{N}$ tal que se $n\geq n_0$ então $$M<1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}.$$
    Solução

27. Se $\sin(\alpha)\neq 0$ então $$\cos (\alpha )\cdot \cos (2\alpha )\cdots \cos (2^n\alpha )=\frac{\sin (2^{n+1}\alpha )}{2^{n+1}\sin (\alpha )}.$$ para todo $n\geq 0$.
    Solução

28. Determine o domínio de verdade da função proposicional $P$ definida sobre os naturais por $$P(n)="3^n+5^n\ge 2^{n+2}".$$
    Solução

29. Mostrar que $$2^{n+2}dividea{11}^{2^n}-1$$ para todo $n\geq 1$.
    Solução

30. Considere as seguintes relações sobre $\mathbb{R}^2$
    -$R_1\subset \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2$ definida como sendo o conjunto de elementos $$((a_1,b_1),(a_2,b_2))\in {\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2$$ tais que $a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2.$ Dito de outra forma $$(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\iff a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2.$$
    - $R_2\subset \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2$ definida como sendo o conjunto de elementos $$((a_1,b_1),(a_2,b_2))\in {\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2$$ tais que $a_1< a_2\vee(a_1=a_2\Rightarrow (b_1\leq b_2).$ Dito de outra forma $$(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\iff \{(a_1<a_2)\vee [(a_1=a_2)\Rightarrow (b_1\le b_2)]\}.$$
    Decida se cada uma delas é de equivalência, de ordem ou nenhuma das duas opções. Caso alguma delas seja de equivalência, identifique a classe à qual pertence o $(1,0)$.
    Solução

31. Considere a relação $R\subset \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ dada por $$R=\{(a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N},a+b\text{é ímpar}\}.$$ Determine se é reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva, de ordem ou de equivalência.
    Solução

32. Considere sobre $\mathbb{Z}$ a relação $$R=\{(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2,6\text{divide a}23\cdot a^2+25\cdot b^2\}$$ Mostre que é uma relação de equivalência. Determine se $[4]=[16]$ ou $[4]=[17]$.
    Solução

33. Considere as funções $f,~g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ $$f(x)=\{\begin{array}{ccc}x& \text{se}& x\in (-\mathrm{\infty },0)\\ x(1-x)& \text{se}& x\in [0,+\mathrm{\infty })\end{array}$$ e $$g(x)=\{\begin{array}{ccc}{x}^3& \text{se}& x\in (-\mathrm{\infty },1]\\ \sqrt{x}& \text{se}& x\in (1,+\mathrm{\infty })\end{array}$$ Calcule $f\circ g$ e $g\circ f$.
    Solução

34. Seja $$f(x)=\{\begin{array}{ccc}{x}^2& \text{se}& x\in (-\mathrm{\infty },0)\\ x& \text{se}& x\in [0,+\mathrm{\infty })\end{array}$$ Calcule
    - $f^{-1}(-1,0)$,
    - $f^{-1}(-1,4)$ e
    - $f^{-1}(0,1)$.
    Solução

35. Considere as funções $f,~g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ em que $$f(x)=\{\begin{array}{ccc}2\cdot x+5& \text{se}& x<-1\\ 4-x^2& \text{se}& x\ge -1\end{array}$$ e $$g(x)=\{\begin{array}{ccc}2\cdot x-1& \text{se}& x<1\\ 2-x& \text{se}& x\ge 1\end{array}$$ Determine $f\circ g$ e $g\circ f$.
    Solução

36. Considere a função $f:(-12/9,+\infty)\rightarrow (8/9,+\infty)$ dada por $$f(x)=\frac{8\cdot x+18}{9\cdot x+12}.$$ Determine se $f$ é bijetora e, caso seja, ache $f^{-1}(x)$.
    Solução

37. Considere os conjuntos $$A=\mathbb{N}eB={\mathbb{N}}^3$$ Mostre que a cardinalidade de $A$ é igual à cardinalidade de $B$.
    Solução

38. Considere os subconjuntos de $\mathbb{R}$ dados por $$A=(5,8)eB=[5,8)\cup (9,24).$$ Mostre que a cardinalidade de $A$ é igual à cardinalidade de $B$, isto é, os dois conuntos tem a mesma cardinalidade.
    Solução

39. Considere as seguintes sequências
    $\bullet~(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ em que $$x_n=1+{\left(\frac{-1}{2}\right)}^n.$$
    $\bullet~(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ em que $$y_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}.$$ Para cada uma delas
    - Desenhe sobre a reta os valores que assumem para $n=0,1,\ldots,8.$
    -Determine se é ou não convergente. Caso seja, relacione o fato de ser convergente com o que observa no gráfico.
    - Determine se é ou não de Cauchy? Caso seja, relacione o fato de ser de Cauchy com o que observa no gráfico.
    Solução

40. Ache o termo genérico da sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dada pela relação de recorrência Ache o termo genérico da sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dada pela relação de recorrência $$x_0=1,x_1=1,x_{n+2}+5\cdot x_{n+1}+6\cdot x_n=0\mathrm{\forall }n\ge 2.$$
    Solução

41. Considere a sequência de números racionais $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ em que $$x_0=1x_n=1+\frac{1}{n}\mathrm{\forall }n\ge 1.$$ Mostre que é uma sequência de Cauchy. Ela é convergente?
    Solução

42. Considere a relação de recorrência $$a_1=1,a_{n+1}=a_n+n^3\mathrm{\forall }n\ge 1.$$ Determine $a_n$ como função de $n$.
    Solução

43. Considere a relação de recorrência $$a_0=a,a_1=b{a}_{n+2}-5\cdot a_n=1\mathrm{\forall }n\ge 2.$$ Determine $a_n$ como função de $n$.
    Solução

44. Provar que a sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ em que $$x_0=1,x_{n+1}=1+\frac{1}{x_n}\mathrm{\forall }n\ge 1,$$ é de Cauchy.
    Solução

45. Mostrar que $$\sum _{i=1}^n\frac{n+i}{i+1}\le 1+n(n+1)$$
    Solução

46. Considere a relação de recorrência $$x_0=7x_1=9,$$ $$49\cdot x_{n+1}=133\cdot x_n-88\cdot x_{n-1}\mathrm{\forall }n\ge 2.$$ Obtenha $x_n$ como função de $n$.
    Solução

47. Mostre que a sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ em que $$x_n=\frac{42\cdot n+5}{3\cdot n+2},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.$$ é de Cauchy e convergente.
    Solução

48. Provar que, para todo $z_1,~z_2\in \mathbb{C}$ temos $$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|.$$
    Solução

49. Determine o conjunto de todos os $x\in\mathbb{R}$ tal que $$|2-6x|+|3x-1|>4.$$
    Solução

50. Determine o conjunto de números reais $x$ tais que $$\left|\frac{5\cdot x+9}{2\cdot x+8}\right|<1$$
    Solução

51. Quantos múltiplos comuns de 3, 11 e 13 há entre 2158 e 121839?
    Solução

52. Se temos $50$ bolinhas de gude das quais
    - $14$ são brancas e numeradas de $1$ até $14$.
    - $13$ são pretas e numeradas de $1$ até $13$.
    - $11$ são vermelhas e numeradas de $1$ até $11$.
    - $12$ são azuis e numeradas de $1$ até $12$.
    
    i- De quantas formas podemos escolher $6$ bolinhas de forma tal que nenhuma delas seja azul.
    ii- De quantas formas podemos escolher $6$ bolinhas de forma tal que pelo menos $1$ seja azul.
    Solução

53. 
    Solução