Fundamentos da Matemática

Exercícios

Sobre um grupo de 94 pessoas sabemos que
- $52$ jogam futebol
- $50$ jogam tênis
-$46$ jogam voley.
-$13$ jogam os três esportes.
-$16$ jogam somente futebol
-$13$ jogam somente tênis
-$14$ jogam somente voley. Queremos saber
- Quantas pessoas jogam somente dois esportes?.
- Quantas pessoas jogam futebol é tênis?.
- Quantas pessoas jogam futebol é vôlei?.
- Quantas pessoas jogam tênis e vôlei?.
-Quantas pessoas não jogam nenhum esporte ?.
Solução
Considere a proposição \[P=\forall~x\in \mathbb{R},~(x<6)\Rightarrow (x^2>36).\] Determine se é verdadeira ou falsa e $\neg P$.
Solução
Considere o conjunto universo \[ U=\{a,~b,~c,~1,~\{2,~a\},~\{a,~b,~c\},~2,~3\} \] e os conjuntos \[ A=\{a,~2,~\{2,~a\},~1,~c\}\quad B=\{a,~b,~c,~2,~3\}\] \[\quad C=\{c,\{a,~b,~c\},~b,~3\} .\] Calcule
-$A \cap (B \triangle C) $.
-$(A \cup B^c) \cap C $.
-$(A \triangle B) \backslash C $ .
-$(A^c \cap B^c) \cap C^c $.
-$(A \backslash B^c) \triangle C $.
Solução
Mostrar que \[[A\cup (B\cap C)]\cap C=(A\cup B)\cap C.\]
Solução
Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
a) $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C$.
b) $C\subset A\Rightarrow (B\cap C)\subset (A\Delta B)^C$.
c) $A\subset B\Rightarrow A\Delta B=B\cap A^C$.
Solução
Sejam $A,~B$ e $C$ três conjuntos. Provar que:
a) $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$.
b) $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C) $.
c) $(A\Delta B)\times C=(A\times C)\Delta (B\times C)$.
Solução
Escreva as tabelas da verdade das seguintes proposições
- $P\vee Q\Rightarrow R$
- $(P\Rightarrow R)\wedge (Q\Rightarrow R)$
- $P\Rightarrow(Q\Rightarrow R)$
Solução
Mostre que a proposição \[ (R\Rightarrow \neg P)\wedge (R\wedge P)\wedge Q,\] é uma contradição.
Solução
Determine se cada uma das expressões a seguir é Tautologia ou Contradição.
- $[(P\Rightarrow Q)\wedge \neg Q]\Rightarrow \neg P$.
- $P\wedge \neg(Q\vee P)$.
Solução
Provar, utilizando cálculo de proposições, que
- $(P\Rightarrow R)\vee (Q\Rightarrow S)=(P\wedge Q\Rightarrow R\vee S)$
- $(P\Rightarrow \neg Q)\Rightarrow (Q\Rightarrow \neg T)=(\neg P\rightarrow \neg Q)\vee (\neg P\Rightarrow\neg T)$
Solução
Mostre a fórmula \[ \neg[P\Leftrightarrow Q]=\neg P\Leftrightarrow Q \]
Solução
Determine se os seguintes argumentos são válidos ou não. Transforme na linguagem simbólica e utilize tabelas da verdade ou cálculo proposicional para justificar o seu resultado.
A)
- Se $N=7$ então $N+1=8$.
- Se $N=3$ então $N+1\neq 8$.
- $N=3$.
Logo $N\neq 7$.

B)
- Mestre Yoda não é verde.
- Se Darth Vader é o pai de Luke então Mestre Yoda é verde.
Logo Darth Vader é o pai de Luke .
Solução
Achar o domínio das seguintes funções proposicionais
- $(\mathbb{Z}, P(x))$ onde $P(x):x^2\leq 9$.
- $(A,B, P(x,y))$ onde $A=\{-3,-2,-1,0,1,2\}$ e $B=\{-1,0,1,2,3,4\}$ e $P(x,y):x+y<1$.
Solução
Negar as seguintes proposições
- $\exists n\in\mathbb{N}$, $n^3=n+1$
- $\forall x\in\mathbb{R}$, ~$x>2\Rightarrow x^3>7$
Solução
Determine a linguagem simbólica da seguinte proposição e, depois, ache a contrapositiva da mesma:

"Se todos os carros partiram na largada, então algum deles ganhou a competição."
Solução
Considere a proposição

$P=$"As necessidades de muitos se sobrepõem às necessidade de poucos"
Descreva $P$ utilizando quantificadores e funções proposicionais e, depois, calcule a negação.
Solução
Considere a proposição
\[P=~\forall~\epsilon\in \mathbb{R}_{>0},~\exists~\delta\in \mathbb{R}_{>0},~\forall~x\in\mathbb{R}_{>0},~0< x < \delta~\Rightarrow~ 0<\sqrt{x}<\epsilon~\] Determine
- Se $P$ é verdadeira ou falsa.
- $\neg P$.
Solução
Provar que $10^n-1$ é divisível por $9$ para todo $n\geq 1$.
Solução
Achar todas as relações de $A= \{ 1 \}$ em $B = \{ 1,2,3 \}$.
Solução
Determinar se as relações a seguir são: reflexiva, simétrica , antisimétrica, transitiva de equivalência ou de ordem.
-$A=\{ 1, 2, 3,4,5 \}$ e $R_1=\{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) \}$.
-$A=\{ 1, 2, 3,4,5 \}$ e \[R_2=\{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (1,3), (2,5), (1,5) \}.\]
-$A=\mathbb{Z}$ e $R_3=\{ (a,b): |a| \leq | b | \}$.
Solução
Sejam $A=\{ a, b, c, d, e, f \}$ e a seguinte relação de equivalência em $A$ \[ R=\{(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (f,f), \] \[(a,b), (b,a), (a,f), (f,a), (b,f), (f,b), (c,e), (e,c),\}. \] Achar
-A classe de equivalência de $b$.
-A classe de equivalência de $c$.
-A classe de equivalência de $d$.
-A partição associada a $R$.
Solução
-Provar que a relação $R_1$ em $\mathbb{R}$ dada por
$x \equiv y$ se existe $\alpha >0$ tal que $y =\alpha x$
é de equivalência em e achar $[x]$.
-Provar que a relação $R_2$ em $\mathbb{N}$ dada por
$x \leq y$ se $x$ divide a $y$.
é de ordem.
Solução
Encontre a inversa o domínio e a imagem das seguintes relações. Represente geométricamente.
- $R_1= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 =1 \}$.
- $R_2= \{(x,y)\in \mathbb{Z}^2 : x^2 + y^2 =1 \}$.
- $R_3= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x>y +1 \}$.
Solução
Seja $A=\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. Achar e graficar a relação de equivalência em $A$ associada à partição \[\mathcal{F}=\{\{1,3\}, \{ 2,6,7\}, \{ 4,8,9,10\}, \{5\}\}.\]
Solução
Mostre os seguintes criterios de divisibilidade sobre $\mathbb{Z}$.
a) Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
b) Um número é divisível por 4 se os seus dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por 4.
c) Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo for igual a 0 ou 5.
d) Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
e) Um número é divisível por 8 se seus últimos três algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8.
f) Um número é divisível por 9 se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
Solução
Provar que para todo $M>0$ existe um $n_0\in\mathbb{N}$ tal que se $n\geq n_0$ então \[M<1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}.\]
Solução
Se $\sin(\alpha)\neq 0$ então \[ \cos(\alpha)\cdot \cos(2\alpha)\cdots \cos(2^n\alpha)=\frac{\sin(2^{n+1}\alpha)}{2^{n+1}\sin(\alpha)}. \] para todo $n\geq 0$.
Solução
Determine o domínio de verdade da função proposicional $P$ definida sobre os naturais por \[P(n)="3^n+5^n\geq 2^{n+2}".\]
Solução
Mostrar que \[2^{n+2}\quad divide~a\quad 11^{2^n}-1\] para todo $n\geq 1$.
Solução
Considere as seguintes relações sobre $\mathbb{R}^2$
-$R_1\subset \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2$ definida como sendo o conjunto de elementos \[((a_1,b_1),~(a_2,b_2))\in \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\] tais que $a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2.$ Dito de outra forma \[(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\quad \Leftrightarrow\quad a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2.\]
- $R_2\subset \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2$ definida como sendo o conjunto de elementos \[((a_1,b_1),~(a_2,b_2))\in \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\] tais que $a_1< a_2\vee(a_1=a_2\Rightarrow (b_1\leq b_2).$ Dito de outra forma \[(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)\quad \Leftrightarrow\quad \{(a_1< a_2)\vee[(a_1=a_2)\Rightarrow (b_1\leq b_2)]\}.\]
Decida se cada uma delas é de equivalência, de ordem ou nenhuma das duas opções. Caso alguma delas seja de equivalência, identifique a classe à qual pertence o $(1,0)$.
Solução
Considere a relação $R\subset \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ dada por \[ R=\{(a,b)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N},~a+b~\textrm{é ímpar}\}. \] Determine se é reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva, de ordem ou de equivalência.
Solução
Considere sobre $\mathbb{Z}$ a relação \[R=\{(a,b)\in \mathbb{Z}^2,~6~\textrm{divide a}~23\cdot a^2+25\cdot b^2\}\] Mostre que é uma relação de equivalência. Determine se $[4]=[16]$ ou $[4]=[17]$.
Solução
Considere as funções $f,~g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ \[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x&\textrm{se}&x\in(-\infty,0)\\x(1-x)&\textrm{se}&x\in[0,+\infty)\\\end{array}\right.\] e \[g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^3&\textrm{se}&x\in(-\infty,1]\\\sqrt{x}&\textrm{se}&x\in(1,+\infty)\\\end{array}\right.\] Calcule $f\circ g$ e $g\circ f$.
Solução
Seja \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x^2&\textrm{se}&x\in(-\infty,0)\\x &\textrm{se}&x\in[0,+\infty)\\\end{array}\right. \] Calcule
- $f^{-1}(-1,0)$,
- $f^{-1}(-1,4)$ e
- $f^{-1}(0,1)$.
Solução
Considere as funções $f,~g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ em que \[f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2\cdot x+5&\textrm{se}&x<-1\\4-x^2&\textrm{se}&x\geq-1\\\end{array}\right.\] e \[g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2\cdot x-1&\textrm{se}&x<1\\2-x&\textrm{se}&x\geq 1\\\end{array}\right.\] Determine $f\circ g$ e $g\circ f$.
Solução
Considere a função $f:(-12/9,+\infty)\rightarrow (8/9,+\infty)$ dada por \[f(x)=\frac{8\cdot x+18}{9\cdot x+12}.\] Determine se $f$ é bijetora e, caso seja, ache $f^{-1}(x)$.
Solução
Considere os conjuntos \[A=\mathbb{N}\quad e \quad B=\mathbb{N}^3\] Mostre que a cardinalidade de $A$ é igual à cardinalidade de $B$.
Solução
Considere os subconjuntos de $\mathbb{R}$ dados por \[A=(5,8)\quad e\quad B=[5,8)\cup (9,24).\] Mostre que a cardinalidade de $A$ é igual à cardinalidade de $B$, isto é, os dois conuntos tem a mesma cardinalidade.
Solução
Considere as seguintes sequências
$\bullet~(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ em que \[x_n=1+\left(\frac{-1}{2}\right)^n. \]
$\bullet~(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ em que \[y_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}.\] Para cada uma delas
- Desenhe sobre a reta os valores que assumem para $n=0,1,\ldots,8.$
-Determine se é ou não convergente. Caso seja, relacione o fato de ser convergente com o que observa no gráfico.
- Determine se é ou não de Cauchy? Caso seja, relacione o fato de ser de Cauchy com o que observa no gráfico.
Solução
Ache o termo genérico da sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dada pela relação de recorrência Ache o termo genérico da sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dada pela relação de recorrência \[ x_0=1,~x_1=1, \quad x_{n+2}+5\cdot x_{n+1}+6\cdot x_n=0\quad\forall n\geq 2.\]
Solução
Considere a sequência de números racionais $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ em que \[x_0=1\quad x_n=1+\frac{1}{n}\quad\forall n\geq 1.\] Mostre que é uma sequência de Cauchy. Ela é convergente?
Solução
Considere a relação de recorrência \[a_1= 1,\quad a_{n+1}= a_n+ n^3\quad \forall~n\geq 1.\] Determine $a_n$ como função de $n$.
Solução
Considere a relação de recorrência \[a_0= a,\quad a_1= b\quad a_{n+2}- 5\cdot a_n= 1\quad\forall~n\geq 2 .\] Determine $a_n$ como função de $n$.
Solução
Provar que a sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ em que \[x_0=1,\quad x_{n+1}=1+\frac{1}{x_n}\quad \forall~n\geq 1,\] é de Cauchy.
Solução
Mostrar que \[\sum_{i=1}^n \frac{n+i}{i+1} \leq 1 + n(n+1)\]
Solução
Considere a relação de recorrência \[x_0=7\quad x_1=9,\] \[49\cdot x_{n+1}=133\cdot x_n-88\cdot x_{n-1}\quad \forall~n\geq 2. \] Obtenha $x_n$ como função de $n$.
Solução
Mostre que a sequência $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ em que \[x_n=\frac{42\cdot n+ 5}{3\cdot n+ 2},\quad \forall~n\in\mathbb{N}.\] é de Cauchy e convergente.
Solução
Provar que, para todo $z_1,~z_2\in \mathbb{C}$ temos \[|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|.\]
Solução
Determine o conjunto de todos os $x\in\mathbb{R}$ tal que \[ |2-6x|+|3x-1|>4. \]
Solução
Determine o conjunto de números reais $x$ tais que \[\left|\frac{5\cdot x+9}{2\cdot x+8}\right|<1\]
Solução
Quantos múltiplos comuns de 3, 11 e 13 há entre 2158 e 121839?
Solução
Se temos $50$ bolinhas de gude das quais
- $14$ são brancas e numeradas de $1$ até $14$.
- $13$ são pretas e numeradas de $1$ até $13$.
- $11$ são vermelhas e numeradas de $1$ até $11$.
- $12$ são azuis e numeradas de $1$ até $12$.

i- De quantas formas podemos escolher $6$ bolinhas de forma tal que nenhuma delas seja azul.
ii- De quantas formas podemos escolher $6$ bolinhas de forma tal que pelo menos $1$ seja azul.
Solução
Solução