Geometria Analítica

Exercícios

1. Calcular a inversa da matriz
   $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 1& 3& 1\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$$ Solução

2. Calcule a inversa da matriz
   $$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& -1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& 1& 1& -1\end{array}\right)$$
   Depois faça $A^{-1}A$ e mostre que é igual a identidade $I.$
   Solução

3. Calcule a inversa da matriz
   $$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 2& 2& 2\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& 1& 1& -1\\ 1& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
   Depois faça $A^{-1}A$ e mostre que é igual a identidade $I.$
   Solução

4. Encontre a inversa de
   $$A=\left(\begin{array}{lllllll}1& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$ Solução

5. Sabendo que a matriz $$\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -1& 1& 1\\ 1& -1& 1& 1& 1\\ -1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& -1& 1\\ 1& 1& 1& 1& -1\end{array}\right)$$ é invertível, calcule a inversa de $A.$ Solução

6. Considere a matriz
   $$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 1& 1& x& 1\\ 0& 1& 1& x\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$$

   i- Determine os valores de $x$ que tornam a matriz $A$ invertível
   ii- Calcule o determinante de $A$ e de $A^{-1}$ para cada $x$ que torna $A$ invertível.
   iii- Ache a inversa de $A$ para o caso $x=3$.

   Solução

7. Dada a matriz
   $$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 2& 2\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$ Determinar
   i- Inversa de $A$
   ii- Determinante de $A$ e de $A^{-1}.$
   Solução

8. Calcular o determinante da matriz $$A=(a_{ij})\in \mathbb{M}(5\times 5,R),$$ cujas entradas são da forma $$a_{ij}=1+x_i-y_j$$ para $x_t$, $y_t$ números reais quaisquer para todo $1\le t\le 5$.
   Solução

9. Calcule o determinante de
   $$B=\left(\begin{array}{llllll}1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& x_1& 1\\ 1& 1& 1& x_2& 1& 1\\ 1& 1& x_3& 1& 1& 1\\ 1& x_4& 1& 1& 1& 1\\ x_5& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right).$$ Solução

10. Calcule o determinante de
    $$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& -1& 1& 1\\ 1& -1& 1& 1& 1\\ -1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& -1& 1\\ 1& 1& 1& 1& -1\end{array}\right)$$
    A matriz $A$, é invertível? Justifique.
    Solução

11. Calcule o determinante de
    $$A=\left(\begin{array}{ccccc}2& 2& 2& 4& 4\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 3& -1& 1& 5& 3\\ 4& 2& -2& -3& 1\\ -1& 0& 1& -1& 1\end{array}\right)$$
    A matriz $A$, é invertível? Justifique.
    Solução

12. Seja $A=\left(a_{i,j}\right)$ a matriz $5\times 5$ cuja entrada na posição $(i,j)$ é $max\{i,j\}$, o maior entre $i$ e $j$, para todo $i$ e $j$. Calcule $\det (A)$ e conclua se $A$ é ou não invertível.
    Solução

13. Calcule o determinante da matriz $$A=\left(\begin{array}{ccccc}4& 2& -4& 2& 2\\ 6& 2& 2& 4& 2\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& 0& 1\\ 1& 1& -1& -1& -1\end{array}\right)$$
    Solução

14. Considere a matriz $A$, que depende do parámetro $k,$ dada por $$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 5\\ -4k& 4k-1& k-2\\ 0& 1-4k& 0\end{array}\right).$$ Determinar
    a) para quais valores de $k$ a matriz $A$ é invertível.
    b) a inversa de $A$ para o caso $k=0.$
    Solução

15. Considere a matriz, que depende do parámetro $k$, $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 3k& 8+2k& k-1\\ 0& 8k+8& 0\end{array}\right)$$
    a) Determinar, para quais valores reais de $k$ a matriz $A$ é invertível.
    b) Calcular a inversa, para o caso $k=2$ usando a matriz adjunta e para $k=0$, utilizando operações elementares nas linhas.
    Solução

16. Determinar para quais valores reais de $a$ a seguinte matriz $$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 3& a-2\\ a& 4-a& a-1\\ -3a& -9& 7-2a\end{array}\right)$$é invertível.
    Solução

17. Calcule o determinante da matriz $$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& 1\\ 5& -9& 6& 3\\ -1& 2& -6& -2\\ 2& 8& 6& 1\end{array}\right)$$
    Solução

18. Calcule o determinante da matriz $$\left(\begin{array}{ccccc}2& 1& 1& 2& y\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ -1& 1& -1& -1& 1\\ 1& 1& 1& -1& 1\\ 1& 1& -1& 1& 13\end{array}\right).$$ Determine para quais valores de $y$ a matriz é invertível.
    Solução

19. Considere a matriz $$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& x\\ 1& -1& 1& 1\\ 1& 1& -1& 1\\ 1& 1& 1& -2\end{array}\right)$$ Calcule $\det (A)$, e $\det (A^{-1})$.
    Solução

20. Considere o sistema linear que depende de um parámetro $$\{\begin{array}{ccccccc}x& +& y& +& 3z& =& 3\\ x& +& (a+1)y& +& 3z& =& 4\\ 2x& +& 2y& +& 2az& =& 2a\end{array}.$$ Determine o conjunto solução para os diferentes valores de $a.$
    Solução

21. Considere o sistema linear $$\{\begin{array}{ccccc}-x& -y& +z& =& 1\\ x& -y& -az& =& 1\\ x& +ay& +z& =& -3\end{array}$$
    
    a) Determine os valores de $a$ para os quais o sistema tem solução única.
    b) Determine o conjunto solução para $a=1$
    c) Determine o conjunto solução para $a=-1$
    d) Determine o conjunto solução para $a=3$
    Solução

22. Considere o sistema linear $$\{\begin{array}{ccccc}ax& +y& +z& =& 1\\ x& +ay& +z& =& 1\\ -x& +y& +az& =& 1\end{array}$$que depende de um parâmetro $a.$
    a)Determine os valores de $a$ para os quais o sistema tem solução única e ache a solução.
    b) Determine o conjunto solução para $a=1$
    c) Determine o conjunto solução para $a=0$
    d) Determine o conjunto solução para $a=-1$
    Solução

23. Considere o sistema linear nas três variáveis $x,y,z$ dado por $$\{\begin{array}{ccccc}x& -3y& -4z& =& 3\\ ax& +3y& -az& =& 0\\ x& +3ay& -10z& =& b\end{array}$$ Determine para quais valores de $a$ e $b$ o sistema
    a) tem solução única;
    b) tem infinitas soluções
    c)n\~ao tem solução.
    Solução

24. Considere o sistema linear nas três variáveis $x,y,z$ $$\{\begin{array}{l}x+y+kz=1\\ x+ky+z=1\\ kx+y+z=1\end{array}$$
    Determinar os valores de $k$ o sistema tem: solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
    Nos casos onde tiver solução, resolver o sistema.
    Solução

25. Considere o sistema linear nas três variáveis $x,y,z$ $$\{\begin{array}{ccccccc}x& +& ay& & & =& 2\\ (a+1)x& +& 2y& +& (a+2)z& =& 3b-2\\ x& +& ay& +& (a+2)z& =& b+2\end{array}$$
    i) Determinar os valores de $a$ e $b$ para os quais o sistema tem: solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução
    ii) Nos casos onde tiver solução, resolver o sistema.
    Solução

26. Considere o sistema linear
    $$\{\begin{array}{rrrl}(2-p)x& +(2-p)y& +z& =1\\ x& +y& +(2-p)z& =1\\ (3-2p)x& +(2-p)y& +z& =p\end{array},$$ com 3 equações e 3 variáveis. Determinar os valores de $p$ para os quais o sistema tem:
    a) Solução única;
    b) Várias soluções;
    c) Nenhuma solução.
    d) Nos casos a) e b), resolver o sistema.
    Solução

27. Dado $a\in ℝ$, considere o sistema
    $$\{\begin{array}{ccccccc}x& +& y& +& az& =& 1\\ x& +& (1+a)y& +& (2+a)z& =& 1\\ 2x& +& 2y& +& (a^2+2a-4)z& =& a\end{array}$$

    a) Determine os valores de $a$ para os quais o sistema tem: solução única, infinitas soluções, nenhuma solução.
    b) Encontre o conjunto solução em cada caso que o sistema é solúvel.

    Solução

28. Sendo
    $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right)X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$$ determine os valores de $\lambda$ para que o sistema $AX=\lambda X$ tenha uma, nenhuma ou infinitas soluções.
    Solução

29. Considere o sistema
    $$\{\begin{array}{lcl}{x}_1+2x_2-3x_4+x_5& =& 2\\ x_1+2x_2+x_3-3x_4+x_5& =& 3\\ x_1+2x_2-3x_4+2x_5& =& 4\\ 3x_1+6x_2+x_3-9x_4+4x_5& =& 9\end{array}$$ a) Escreva o sistema acima na forma matricial $AX=B$ e determine a matriz $A$.
    b) Usando o método de Gauss-Jordan de linha equivalência encontre a forma escalonada reduzida (ou forma escada) da matriz aumentada do sistema.
    c) Determine as variáveis livres da solução geral do sistema.
    d) Escreva a solução geral desse sistema.
    Solução

30. Considere o sistema linear que depende de um parámetro $$\{\begin{array}{lllcc}x& +y& +z& =& 23\\ x& +y& +(1-k^2)z& =& 23+2k\\ x& & -k^{2}z& =& 23+2k\end{array}$$ Determine os valores de $k$ para que o sistema tenha solução única, infinitas soluções ou seja sem solução. Resolva o sistema para $k=1$.
    Solução

31. Verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
    
    a) Seja $AX=B$ um sistema linear com $m$ equações e $n$ variáveis. Se $n$ b) Toda matriz é produto de matrizes elementares.
    c) Seja $A$ uma matriz $n\times n$ tal que $A^4-A^2+A=3I_n$, então $A$ é invertível.
    d) Se $A,B$ e $C$ são matrizes $n\times n$, então $\det (A(B+C))=\det (AB)+\det (AC)$.
    Solução

32. Determine se o conjunto $ℬ$ de vetores a seguir são linearmente independentes. Justifique.
    
    a) $ℬ=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(1,1,1)$, $\vec{v}=(1,1,-1)$ e $\vec{w}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(1,1,1)$ e $Q=(1,2,2)$.
    b) $ℬ=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(-1,1,0)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, para $A=(2,-1,0)$ e $B=(1,0,1)$, e $\vec{w}=(-1,1,\frac{1}{2})$.
    c) $ℬ=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(1,0,1)$ e $\vec{v}=(1,1,1)$.
    d) $ℬ=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(1,1)$ e $\vec{v}=(1,-1)$.
    e) $ℬ=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(4,6)$ e $\vec{v}=(-2,-3)$.
    Solução

33. Determine se o conjunto $ℬ$ de vetores a seguir é linearmente independente ou não. Justifique.
    a) $ℬ=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(1,1,1)$, $\vec{v}=(1,1,-1)$ e $\vec{w}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(1,1,1)$ e $Q=(2,2,1)$.
    b) $ℬ=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(-1,1,0)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, para $A=(1,-1,1)$ e $B=(1,0,1)$, e $\vec{w}=(-1,1,1)$.
    c) $ℬ=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(1,1,-2)$ e $\vec{v}=(1,-1,1)$.
    d) $ℬ=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(2,-6)$ e $\vec{v}=(-1,3)$
    e) $ℬ=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(1,2)$ e $\vec{v}=(-2,1)$
    Solução

34. Faça o produto escalar $\vec{u}\cdot \vec{v}$ para os seguintes casos. Também ache o cosseno do ângulo formado pelos vetores.
    a) $\vec{u}=(1,1,1)$, $\vec{v}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(-1,1,1)$ e $Q=(1,1,-2)$.
    b) $\vec{u}=(-1,1,0)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, para $A=(2,1,0)$ e $B=(1,1,1)$
    c) $\vec{u}=(1,1)$ e $\vec{v}=\overrightarrow{CD}$ para $C=(1,0)$ e $D=(0,-1)$.
    d) $\vec{u}=(1,2)$ e $\vec{v}=(2,2)$.
    Solução

35. Faça o produto escalar $\vec{u}\cdot \vec{v}$ para os seguintes casos. Também ache o cosseno do ângulo formado pelos vetores.
    a) $\vec{u}=(1,2,1)$, $\vec{v}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(1,1,1)$ e $Q=(1,1,2)$.
    b) $\vec{u}=(-1,1,2)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, para $A=(2,1,0)$ e $B=(0,1,-1)$.
    c) $\vec{u}=(1,-1)$ e $\vec{v}=\overrightarrow{CD}$ para $C=(1,1)$ e $D=(1,-1)$.
    d) $\vec{u}=(1,3)$ e $\vec{v}=(3,-3)$.
    Solução

36. Determine a área do triângulo $\widehat{ABC}$, onde $A=(1,0,1)$, $B=(1,1,1)$ e $C=(2,-1,1)$ das seguintes formas:
    i- Utilizando produto vetorial.
    ii- Calculando pela fórmula $A=\frac{\text{base}\times \text{altura}}{2}.$
    Solução

37. Verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
    a) Os pontos $$A=(0,1,1),B=(1,1,1),C=(3,-3,1)\text{e}D=(-5,2,4)\text{de}{\mathbb{R}}^3$$ são coplanares.
    b) Sejam $\vec{u},\vec{v}$ e $\vec{w}$ três vetores no espaço tais que $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}$, então $$\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{u}.$$ Solução

38. Considere dois vetores $\vec{v}$ e $\vec{w}$ tais que $\mid \mid \vec{v}\mid \mid =5,$ $\mid \mid \vec{w}\mid \mid =2$ e o ângulo entre $\vec{v}$ e $\vec{w}$ é $\pi /3$. Determine, como combinação linear de $\vec{v}$ e $\vec{w},$
    a) Um vetor $\vec{u}$ tal que $\vec{u}\cdot \vec{v}=20$ e $\vec{u}\cdot \vec{w}=5$
    b) Um vetor $\vec{u}$ tal que $\vec{u}\times \vec{v}=\vec{0}$ e $\vec{u}\cdot \vec{w}=12$
    (este é o ex. 3.2.16 do Livro Matrizes, vetores e Geometria Analítica de Reginaldo Santos).
    Solução

39. Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ dois vetores que satisfazem $$||\overrightarrow{u}||=3||\overrightarrow{v}||=8\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-12.$$ Considere $\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}$. Calcule $$||Pro{j}_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{w}||e||Pro{j}_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{w}||.$$
    Solução

40. Sejam $$A=(1,-2,1)B=(-1,0,2)C=(3,20,150)$$e considere o triângulo $\widehat{ABC}$. Determine o ponto $R$ de forma tal que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{RC}$ e $\overrightarrow{AR}$ seja paralelo a $\overrightarrow{AB}$. Solução

41. Considere $$\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{v}-5\overrightarrow{w}$$ onde $\mid \mid \vec{v}\mid {\mid }^2=4$, $\mid \mid \vec{w}\mid {\mid }^2=3$ e $\vec{v}\cdot \vec{w}=1$. Calcule
    - $\vec{u}\cdot \vec{v}$,
    - $\vec{u}\cdot \vec{w}$,
    - $\mid \mid \vec{u}-2\vec{v}\mid {\mid }^2$,
    - $\mid \mid \vec{u}-2\vec{w}\mid {\mid }^2$,
    - $\mid \mid \vec{u}-\vec{v}\mid {\mid }^2$,
    - $\mid \mid \vec{u}-\vec{w}\mid {\mid }^2.$
    Solução

42. Considere as retas $r_1$, $r_2$ de equações $$r_1:\{\begin{array}{ccc}x& =& 1+\lambda \\ y& =& 1+\lambda \\ z& =& 1+2\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}{r}_2:\frac{x-1}{2}=y-1=z$$ Ache um ponto $Q_1\in r_1$ e um vetor ${\vec{v}}_1\parallel r_1$ e um ponto $Q_2\in r_2$ e um vetor ${\vec{v}}_2\parallel r_2$. Prove que elas são reversas de três formas diferentes
    1- Mostrando que $r_1\cap r_2=\varnothing$.
    2- Mostrando $\{{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2\}$ é linearmente independente e que $d(r_1,r_2)>0$.
    3- Mostrando que $\{\overrightarrow{Q_1{Q}_2},{\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2\}$ é linearmente independente.
    Solução

43. Considere um paralelogramo $\widehat{ABDC}$ de com vertices em $A=(0,1,-1),B=(0,0,1),D=(2,-1,1)$. Determine
    a) o plano $\pi$ que contém $A,B,D$,
    b) o ponto $C$, e verifique que $C\in \pi$,
    c) a área do triângulo $\widehat{ABC}$ utilizando produto vetorial,
    d) a área do triângulo $\widehat{ABC}$ utilizando a fórmula $A=\frac{\left(base\right)\cdot \left(altura\right)}{2}$ onde a base é dada pelo segmento $\overline{AC}$.
    Solução

44. Considere as retas $$r:\{\begin{array}{ccl}x& =& 6\alpha \\ y& =& -6-14\alpha & \alpha \in \mathbb{R},\\ z& =& 8+8\alpha \end{array}$$ $$s:\{\begin{array}{ccl}x& =& 2-78\beta \\ y& =& 8-114\beta & \beta \in \mathbb{R}.\\ z& =& -6-104\beta \end{array}$$ Determine se são reversas, paralelas ou concorrentes e o ângulo entre elas. Caso sejam reversas ou paralelas ache a distância entre elas.
    Solução

45. Achar a interseção dos planos $${\pi }_1:7x-y-z=5,$$ $${\pi }_2:x+y-7z=-5.$$
    Solução

46. Considere o plano $$\pi :3x+2y+2z=0$$ e o ponto $A=(3,6,-2)$. Ache a equação simétrica da reta $r$ paralela ao plano e que passa pelo ponto $B$, simétrico a $A$ em relação ao plano $\pi ,$ e é perpendicular ao vetor $\vec{v}=(-6,13,-4).$
    Solução

47. Considere as retas $$r_1:\{\begin{array}{c}x-2y+z=1\\ x+y-2z=0\end{array}{r}_2:\frac{x-1}{2}=\frac{1-z}{2}y=0;$$ Determine:
    a) se são iguais, paralelas, concorrentes ou reversas,
    b) a distância entre elas,
    c) o ângulo entre elas.
    Solução

48. As retas $r$ e $s$ são dadas por $$r:=\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+3t\\ z=t\end{array}t\in \mathbb{R},s:=\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2+p\\ z=-p\end{array}p\in \mathbb{R}$$
    a) Encontrar a distância entre as retas $r$ e $s$ e mostrar que as duas retas são reversas.
    b) Encontrar as equações dos planos paralelos ${\pi }_1$ e ${\pi }_2$, tais que $r$ está contida em ${\pi }_1$ e $s$ está contida em ${\pi }_2$.
    c) Encontrar o ângulo entre as retas $r$ e $s$
    Solução

49. As retas $r$ e $s$ são dadas por $$r:=\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+t\\ z=1-t\end{array}t\in \mathbb{R},s:=\{x+2=\frac{y-2}{-1}\text{ e }z=1\}$$
    a) Encontrar a distância entre as retas $r$ e $s$ e mostrar que as duas retas são reversas.
    b) Encontrar a equação paramétrica da reta $l$, concorrente com ambas retas $r$ e $s$, e paralela ao vetor $\vec{V}=(0,3,1)$.
    Solução

50. Achar a equação da reta $r_3$ que intersepta as retas $$r_1:\{\begin{array}{cclc}x& =& -1+2t& \\ y& =& 1+t& t\in \mathbb{R}\\ z& =& 0\end{array}$$ e $$r_2:x-2=\frac{y-4}{2}ez=3$$ e é perpendicular a ambas. Solução

51. Dados quatro vértices, $O=(0,0,0)$, $A=(-2,-1,1)$, $B=(1,1,1)$, e $C=(5,1,-1)$ de um paralelepípedo,
    a) Encontrar a equação do plano que contém os vértices $0$, $A$, e $B$.
    b) Encontrar a equação do plano que contém os vértices $C$, $D$, e $E$.
    c) Encontrar a equação da reta que passa pelos vértices $C$ e $D$.
    d) Encontrar as coordenadas dos pontos $D$ e $E$.
    Solução

52. Encontrar equações paramétricas assim como uma equação linear que descreva os planos ${\pi }_1$ e ${\pi }_2$ que contém a reta $r$ definida por $$r:=\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1+t\\ z=2t\end{array}t\in \mathbb{R}$$ e tais que $(1,0,0)\in {\pi }_1$ e $(0,0,0)\in {\pi }_2$.
    b) Encontre o ângulo entre os dois planos ${\pi }_1$ e ${\pi }_2$.
    Solução

53. Dados o plano $$\pi :2x+2y-z=6$$ e o ponto $P:(2,2,-4)$, encontre
    a) a distância de $P$ a $\pi$.
    b) a equação da reta que passa por $P$ e é ortogonal a $\pi$.
    c) o ponto $Q$ em $\pi$ de forma que a distância de $P$ a $Q$ seja igual a distândica de $P$ a $\pi$
    Solução

54. As retas $r$ e $l$ são dadas por: $$r=\{\begin{array}{c}x=0\\ y=2-t& ,t\in \mathbb{R}\\ z=1-t\end{array}l=\{\begin{array}{c}x-4=z-1\\ y=3.\end{array}$$
    a) Mostrar que $r$ e $l$ são reversas.
    b) Encontrar os planos $\pi$ e $\alpha$ tais que: $r\subset \pi$, $l\subset \alpha$ e $\pi$ {\'e} paralelo a $\alpha$.
    c) Encontrar a distância entre os planos $\pi$ e $\alpha$ do item anterior.
    d) Encontrar os pontos $P$ em $r$ e $Q$ em $l$ tais que a reta que passa por $P$ e $Q$ seja perpendicular a $r$ e a $l$.
    Solução

55. Encontrar a equação do plano $\pi$ que é perpendicular a cada um dos planos $$\alpha :x-y-2z=0\beta :2x+y-4z-5=0$$ e contém o ponto $A=(4,0,-2)$.
    Solução

56. 
    a) Encontre equações paramétricas assim como uma equação linear que descrevam o plano contendo os pontos $$P_1=(1,0,0),P_2=(1,2,-1)\text{e}{P}_3=(0,-1,2).$$
    b) Encontre a interseção do plano do item (a) com a reta determinada por $$x+2z=1,y=2.$$
    c) Determine o cosseno do ângulo formado pela reta e o plano dos itens anteriores.
    Solução

57. Determine se os seguintes pontos do ${ℝ}^3$ são coplanares: $$P_1=(1,0,1),P_2=(2,1,3),P_3=(1,1,1),P_4=(2,2,3).$$
    Solução

58. Considere a reta $r_1$ que passa por $Q=(0,0,1)$ e tem $\vec{v}=(1,2,-1)$ como vetor diretor, assim como a reta $r_2$ dada por $$\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=z.$$
    1) Encontre os pontos de $P_1\in r_1$ e $P_2\in r_2$ que satisfazem $d(P_1,P_2)=d(r_1,r_2)$.
    2) Encontre as projeções ortogonais da origem em $r_1$ e $r_2$. (A projeção ortogonal de um ponto $P$ em uma reta $r$ é a interseção de $r$ com a reta $S$ que contém $P$ e intersecta $r$ ortogonalmente.)
    3) Encontre equações lineares dos planos ${\pi }_1$ e ${\pi }_2$ que contém $r_1$ e $r_2$, respectivamente, e satisfazem $d({\pi }_1,{\pi }_2)=d(r_1,r_2)$.
    Solução

59. Considere os planos $${\pi }_1:\{(x,y,z),x-y=-2\},$$ $${\pi }_2:\{\begin{array}{cclc}x& =& 1+2\alpha +\beta & \\ y& =& 2+2\alpha & \alpha ,\beta \in \mathbb{R}.\\ z& =& 1+2\alpha +\beta \end{array}$$ e a reta $$r:\{(x,y,z),x=y-1=z\}.$$ Determine
    i- a reta $s:{\pi }_1\cap {\pi }_2$
    ii- $d(r,{\pi }_1)$
    iii- se existe um plano ${\pi }_3$ que contém as retas $r$ e $s$.
    Solução

60. Considere o plano $\pi$ de equação $$\pi :\{\begin{array}{ccl}x& =& 3+2\alpha +2\beta \\ y& =& \alpha \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\\ z& =& -1+\alpha +\beta \end{array},$$ e o ponto $A=(3,0,4)$. Determine o ponto $B$ que é simétrico a $A$ em relação ao plano.
    Solução

61. Determine o valor de $x$ para que os pontos $$A=(-1,7,1)B=(4,7,4)C=(29,9+x,5)D=(2,9,3)$$ sejam coplanares.
    Solução

62. Considere a cônica de equação$$3x^2+6x+y^2-4y+4=0.$$ Faça uma translação de coordenadas de forma tal que no novo sistema a equação da cônica acima esteja na forma canônica. Identifique a cônica e determine seus focos e vértices. Faça um esboço do gráfico.
    Solução

63. Seja $$ o lugar geométrico dos pontos $P=(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem $$2y^2-3x^2-4y+12x+8=0$$ a) Qual é o tipo de cônica $$? Encontrar novas coordenadas para escrever a equação de $$ na forma canônica.
    b) Encontrar os focos, os vértices e a excentricidade de $$ nas coordenadas $x$ e $y$. No caso de hipérbole, encontrar também as equações das assíntotas em $x$ e $y$.
    Fazer um esboço do gráfico da cônica $$.
    Solução

64. Seja $\ell$ o lugar geométrico dos pontos $P=(x,y)$ no plano cujas coordenadas satisfazem a equação $$\ell :9x^2-16y^2-54x+48y+81=0.$$
    a) Determinar que tipo de cônica é $\ell$. Escrever a equação canônica de $\ell$.
    b) Encontrar os focos, a excentricidade e os vértices de $\ell$. Se $\ell$ for hipérbole, encontrar as equações das assíntotas de $\ell$.
    Solução

65. Considere a cônica de equação $$2x^2+3y^2+4x-12y+8=0$$ Determine
    a) se é elipse, hipêrbole ou parábola,
    b) focos, vértices e assíntotas (se houver) no sistema de coordenadas $S=\{O,\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\left\}\right\}$,
    c) exentricidade,
    d) um esboço do gráfico.
    Solução

66. Considere a cônica de equaçao $$3x^2-2y^2+2y+6x=5$$
    - Identifique a cônica.
    - Faça as mudanças de coordenadas necessárias para levar a equação da cônica a uma forma canônica.
    - Determine focos, vértices e assíntotas (se houver) no sistema de coordenadas $xy$
    Solução

67. Considere a parábola de equação $$x^2+y^2+2xy+24x-24y=144.$$ Determine Foco, Vértice e reta diretriz. Faça um esboço da mesma contendo os dados achados.
    Solução

68. Considere uma rotação de coordenadas de um sistema $S=\{O=(0,0),\{{\vec{e}}_1=(1,0),{\vec{e}}_2=(0,1)\left\}\right\}$ para um sistema $Sʹ=\{Oʹ=(0,0),\{{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2\left\}\right\}$ em que ${\vec{u}}_1=k(6,-8)$ para algúm $k>0$.
    - Quais são as coordenadas, no sistema $Sʹ$, do ponto $P$ que no sistema $S$ tem coordenadas $P=(20,30)$.
    - Qual é a equação, no sitema $Sʹ$, da reta $r$ que no sistema $S$ tem por equação $r:3x-2y=70$.
    Solução

69. Determine, em cada caso, a rotação de coordenadas do sistema $xy$ a um novo sistema de coordenadas $xʹyʹ$ segundo corresponda. \begin{itemize}
    - O ponto $P$, que no sistema $xy$ tem coordenadas $P=(3,4)$, no novo sistema de coordenadas $P$ esteja na parte negativa do eixo $yʹ$.
    - O ponto $Q$, que no sistema $xy$ tem coordenadas $Q=(2,1)$, no novo sistema de coordenadas $Q$ esteja na parte positiva do eixo $xʹ$.
    Solução

70. Considere a cônica de equação $$-26x^2+6y^2+24xy+360x-120y=900.$$ Determine os focos e vértices. Com essa informação faça um esboço da cônica.
    Solução

71. Utilize a rotação dos eixos para achar a equação canônica da cônica de equação $$x^2+Bxy+y^2=1.$$ Encontre a sua exentricidade.
    Solução

72. Considere a cônica de equação $$-26x^2+24xy+6y^2+18\sqrt{10}x-6\sqrt{10}y=180$$
    - Identifique a c\^onica.
    - Faça as mudanças de coordenadas necessárias para levar a equação da cônica a uma forma canônica.
    - Determine focos, vértices e assíntotas (se houver) no sistema de coordenadas $xy$
    Solução

73. Seja $$ o lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem $$5x^2-2xy+5y^2-16\sqrt{2}x+8\sqrt{2}y+4=0$$ Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam $$ à forma canônica e identificar a cônica $$.
    Solução

74. Considere a cônica de equação $$(x+1)y=\frac{1}{2}.$$ Determine
    a) se é elipse, hipérbole ou parábola,
    b) focos, vértices e assíntotas (se houver) no sistema de coordenadas $\widehat{xy}$,
    c) exentricidade,
    d) uma parametrização da curva.
    Solução

75. Seja $\ell$ o lugar geométrico dos pontos $P=(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem $$4x^2-4xy+7y^2+12x+6y-9=0.$$
    a) Identificar a cônica $\ell$.
    b) Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam $\ell$ à forma canônica.
    c) Encontrar a excentricidade de $\ell$. Encontrar também as coordenadas dos focos, dos vértices e as equações das assíntotas (se aplicável) no sistema $Oxy$ .
    Solução

76. Seja $$ a curva do plano constituída dos pontos que satisfazem a equação $$3x^2+3y^2+2xy+4\sqrt{2}x-4\sqrt{2}y=-4.$$
    (a) Encontre a forma canônica (ou reduzida) de $$.
    (b) Encontre as coordenadas do(s) foco(s) da curva $$ em relação ao sistema de eixos $XY$.
    (c) Esboce o desenho da curva $$ no sistema de eixos $XY$.
    Solução

77. Seja $$ o lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem $$4x^2-4xy+7y^2+12x+6y-9=0$$ a) Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam $$ à forma canônica e identificar a cônica $$.
    b) Determine excentricidade, vértices, focos e assíntotas (se houver)
    Solução

78. Ache vértices e focos da cônica de coordenadas polares $$-9r+14580-81r\sin (\theta )=0.$$
    Solução

79. Considere a cônica de equação dada em coordenadas polares por $$r-2r\sin (\theta )=2.$$ Ache os vértices e focos em coordenadas polares e cartesianas de duas formas diferentes:
    a- Estudando a equação em coordenadas polares.
    b- Transformando as equações a coordenadas cartesianas e estudando a cônica por meio de uma rotação e traslação.
    Solução

80. Considere a cônica de equação dada em coordenadas polares por $$2r+\sqrt{3}r\cos (\theta )+r\sin (\theta )=1.$$ Ache os vértices e focos em coordenadas polares e cartesianas de duas formas diferentes:
    a- Estudando a equação em coordenadas polares.
    b- Transformando as equações a coordenadas cartesianas e estudando a cônica por meio de uma rotação e traslação.
    Solução

81. Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares é dada por $$r=\frac{1}{2+\sin (\theta )}.$$ Determine
    i) tipo de cônica
    ii) a equação da cônica em coordenadas cartesianas.
    Solução

82. 
    (a) Encontre as coordenadas polares $(r,\theta )$ do ponto $(1,1)$.
    (b) Determine as coordenadas cartesianas de todos os pontos que estão sobre uma reta paralela ao eixo polar a $\theta =\pi$ unidades dele.
    (c) Reescreva a equação $2xy=25$ em coordenadas polares.
    (d) Reescreva a equação $r=3\cos (\theta )$ em coordenadas cartesianas.
    Solução

83. a) Determine a superfície cônica, com vértice na origem, obtida a partir da curva definida por $$x^2+\frac{y^2}{3}=1\text{ e }z=2.$$ b) Encontre uma parametrização dela.
    Solução

84. Mostre que $$9x^2+y^2+2z^2+2xy-8xz-1=0$$ determina a equação de uma superfície cilíndrica e determine uma equação da curva diretriz e um vetor paralelo com a reta geratriz.
    Solução

85. Considere a superfície de revolução $S$ obtida de rotacionar a curva $$\ell :z=y^2,$$ no plano $yz$ ao redor do eixo $z.$ Determinar
    i- a equação da superfície $S$ em coordenadas cartesianas.
    ii- a equação da superfície $S$ em coordenadas cilíndricas.
    iii- a equação da superfície $S$ em coordenadas esféricas.
    Solução

86. Encontrar a equação da superfície cilíndrica determinada pelo vetor $\vec{v}=(1,-1,2)$ e a curva diretriz $$\mathcal{C}:\{\begin{array}{r}{z}^2+4yz-y^2+3y-5=0\\ x=0\end{array}.$$ Solução

87. 
    (a) Determine a equação da superfície cilíndrica com curva diretriz $$\mathcal{C}=\{\begin{array}{cc}{x}^2-y^2& =1\\ z& =0\end{array}$$ e vetor paralelo as retas geratrizes $W=(0,2,-1)$.
    (b) Dada a equação da curva diretriz $$\mathcal{C}=\{\begin{array}{cc}y-x^2& =0\\ z& =2\end{array}$$ determine a equação da superfície cônica que tem vértice na origem $O=(0,0,0)$
    (c) Mostre que a equação $x^2+y^2-z^3=0$ representa uma superfície de revolução e ache uma parametrização dela.
    Solução

88. Encontrar a equação (em coordenadas cartesianas) da superfície cilíndrica $S$ com curva diretriz $$C:x^2+4y=0$$ no plano $z=0$ e retas geratrizes paralelas ao vetor $$\overrightarrow{v}=(-2,4,-6).$$
    Solução

89. Seja $S$ o conjunto dos pontos $P=(x,y,z)$ no espaço cujas coordenadas cartesianas $x$, $y$, $z$ satisfazem a equação $$x^2+y^2+z^2=9z.$$
    a) Determinar que tipo de superfície é $S$.
    b) Escrever a equação de $S$ em coordenadas esféricas, escolhendo adequadamente o polo e os eixos.
    Solução

90. Seja $$ o conjunto dos pontos no espaço cujas coordenadas cartesianas $x,y,z$ satisfazem a equação $$3y^2-z^2+6y-6x+15=0$$ a) Determinar que tipo de superfície quádrica é dada por $$, encontrando a mudança de coordenadas que levam a equação canônica.
    b) Determinar que tipo de cônica obtemos intersecando $$ com o plano $x=3$.
    c) Escrever a equação de $$ em coordenadas esféricas.
    Solução

91. Seja $S$ a superfície com equação (em coordenadas cartesianas) $$S:-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}-{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}=1.}}}$$ Determinar equações paramétricas para a superfície $S$.
    Solução

92. 
    Solução