Exercícios
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Calcular a inversa da matriz
\[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&2 \\ 1&3&1 \\ 1&3&2\end{array}\right)\] Solução -
Calcule a inversa da matriz
\[A=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1\\1&1&1&-1\end{array}\right) \]
Depois faça $A^{-1}A$ e mostre que é igual a identidade $I.$
Solução -
Calcule a inversa da matriz
\[A=\left(\begin{array}{cccc} 2& 2& 2& 2 \\ 1& 1& -1& -1 \\ 1& 1& 1& -1 \\ 1& 0& 0& 1 \end{array}\right) \]
Depois faça $A^{-1}A$ e mostre que é igual a identidade $I.$
Solução -
Encontre a inversa de
\[A=\left(\begin{array}{lllllll}1&1&0&0&0&0&0 \\0&1&1&0&0&0&0 \\0&0&1&1&0&0&0 \\0&0&0&1&1&0&0 \\0&0&0&0&1&1&0 \\0&0&0&0&0&1&1 \\ 0&0&0&0&0&0&1\end{array}\right).\] Solução -
Sabendo que a matriz \[\begin{pmatrix} 1 &1& -1& 1& 1\\1& -1& 1& 1& 1\\-1& 1& 1& 1& 1\\1& 1& 1& -1& 1\\1& 1& 1& 1& -1 \end{pmatrix}\] é invertível, calcule a inversa de $A.$ Solução
-
Considere a matriz
\[ A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&1&0\\1&1&x&1\\0&1&1&x\\1&1&1&1\end{array}\right)\]i- Determine os valores de $x$ que tornam a matriz $A$ invertível
Solução
ii- Calcule o determinante de $A$ e de $A^{-1}$ para cada $x$ que torna $A$ invertível.
iii- Ache a inversa de $A$ para o caso $x=3$. -
Dada a matriz
\[ A=\left(\begin{array}{ccccc}1&1&1&1\\0&2&2&2\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right) \] Determinar
i- Inversa de $A$
ii- Determinante de $A$ e de $A^{-1}.$
Solução -
Calcular o determinante da matriz \[A=(a_{ij})\in \mathbb{M}(5\times 5,R),\] cujas entradas são da forma \[a_{ij} = 1+x_i -y_j\] para $x_t$, $y_t$ números reais quaisquer para todo $1\le t\le 5$.
Solução -
Calcule o determinante de
\[B=\left(\begin{array}{llllll} 1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&x_1&1\\ 1&1&1&x_2&1&1\\ 1&1&x_3&1&1&1\\1&x_{4}&1&1&1&1\\x_5&1&1&1&1&1\end{array}\right).\] Solução -
Calcule o determinante de
\[A=\left(\begin{array}{ccccc} 1& 1& -1& 1& 1\\ 1& -1& 1& 1& 1\\-1& 1& 1& 1& 1\\1& 1& 1& -1& 1\\ 1& 1& 1& 1& -1 \end{array}\right)\]
A matriz $A$, é invertível? Justifique.
Solução -
Calcule o determinante de
\[A=\left(\begin{array}{ccccc} 2& 2& 2& 4& 4\\ 1 &1& 1& 1& 1\\ 3& -1& 1& 5& 3\\ 4& 2& -2& -3& 1\\ -1& 0& 1& -1& 1 \end{array}\right)\]
A matriz $A$, é invertível? Justifique.
Solução -
Seja $A=(a_{i,j})$ a matriz $5\times 5$ cuja entrada na posição $(i,j)$ é $\max\{i,j\}$, o maior entre $i$ e $j$, para todo $i$ e $j$. Calcule $\det(A)$ e conclua se $A$ é ou não invertível.
Solução -
Calcule o determinante da matriz \[ A=\left(\begin{array}{ccccc} 4& 2& -4& 2& 2\\ 6& 2& 2& 4& 2\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& 0& 1\\ 1& 1& -1& -1& -1 \end{array}\right)\]
Solução -
Considere a matriz $A$, que depende do parámetro $k,$ dada por \[A=\begin{pmatrix}2&0&5\\-4k&4k-1&k-2\\0&1-4k&0\end{pmatrix}.\] Determinar
a) para quais valores de $k$ a matriz $A$ é invertível.
b) a inversa de $A$ para o caso $k=0.$
Solução -
Considere a matriz, que depende do parámetro $k$, $$A = \left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0\\3k & 8+2k & k-1\\0 & 8k+8 & 0\end{array}\right)$$
a) Determinar, para quais valores reais de $k$ a matriz $A$ é invertível.
b) Calcular a inversa, para o caso $k=2$ usando a matriz adjunta e para $k=0$, utilizando operações elementares nas linhas.
Solução -
Determinar para quais valores reais de $a$ a seguinte matriz $$A = \left(\begin{array}{ccc}a & 3 & a-2\\a & 4-a & a-1\\-3a & -9 & 7-2a\end{array}\right)$$é invertível.
Solução -
Calcule o determinante da matriz \[A=\begin{pmatrix} 1&-2&3&1\\ 5&-9&6&3\\ -1&2&-6&-2\\ 2&8&6&1 \end{pmatrix}\]
Solução -
Calcule o determinante da matriz \[\begin{pmatrix} 2&1&1&2&y\\ 1&1&1&1&1\\ -1&1&-1&-1&1\\ 1&1&1&-1&1\\ 1&1&-1&1&13 \end{pmatrix}.\] Determine para quais valores de $y$ a matriz é invertível.
Solução -
Considere a matriz \[ A=\begin{pmatrix} 1&1&1&x\\ 1&-1&1&1\\ 1&1&-1&1\\ 1&1&1&-2 \end{pmatrix} \] Calcule $\det(A)$, e $\det(A^{-1})$.
Solução -
Considere o sistema linear que depende de um parámetro \[ \left\{\begin{array}{ccccccc} x&+&y&+&3z&=&3\\ x&+&(a+1)y&+&3z&=&4\\ 2x&+&2y&+&2az&=&2a\end{array} \right. .\] Determine o conjunto solução para os diferentes valores de $a.$
Solução -
Considere o sistema linear \[ \left\{\begin{array}{cccccc} -x& -y&+z&=&1\\x&-y&-az&=&1\\x&+ay&+z&=&-3\end{array}\right.\]
a) Determine os valores de $a$ para os quais o sistema tem solução única.
b) Determine o conjunto solução para $a=1$
c) Determine o conjunto solução para $a=-1$
d) Determine o conjunto solução para $a=3$
Solução -
Considere o sistema linear \[ \left\{\begin{array}{cccccc}ax& +y&+z&=&1\\x&+ay&+z&=&1\\-x&+y&+az&=&1 \end{array}\right.\]que depende de um parâmetro $a.$
a)Determine os valores de $a$ para os quais o sistema tem solução única e ache a solução.
b) Determine o conjunto solução para $a=1$
c) Determine o conjunto solução para $a=0$
d) Determine o conjunto solução para $a=-1$
Solução -
Considere o sistema linear nas três variáveis $x,y,~z$ dado por \[\left\{\begin{array}{ccccccc}x&-3y&-4z&=&3\\ax&+3y&-az&=&0\\x&+3ay&-10z&=&b\end{array}\right.\] Determine para quais valores de $a$ e $b$ o sistema
a) tem solução única;
b) tem infinitas soluções
c)n\~ao tem solução.
Solução -
Considere o sistema linear nas três variáveis $x,y,z$ $$\left\{\begin{array}{l}x + y + kz =1 \\x + ky + z =1 \\kx + y + z =1 \end{array} \right. $$
Determinar os valores de $k$ o sistema tem: solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Nos casos onde tiver solução, resolver o sistema.
Solução -
Considere o sistema linear nas três variáveis $x,y,z$ $$\left\{\begin{array}{ccccccc}x& + &ay& &&=&2 \\(a+1)x& + &2y &+& (a+2)z& =& 3b-2 \\x&+&ay&+&(a+2)z& = &b+2\end{array}\right.$$
i) Determinar os valores de $a$ e $b$ para os quais o sistema tem: solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução
ii) Nos casos onde tiver solução, resolver o sistema.
Solução -
Considere o sistema linear
\[ \left\{\begin{array}{rrrl} (2-p)x &+(2-p) y &+ z & = 1\\ x &+ y &+ (2-p)z &= 1\\ (3-2p)x &+ (2-p)y &+ z & = p\end{array}\right.,\] com 3 equações e 3 variáveis. Determinar os valores de $p$ para os quais o sistema tem:
a) Solução única;
b) Várias soluções;
c) Nenhuma solução.
d) Nos casos a) e b), resolver o sistema.
Solução -
Dado $a\in\mathbb{R}$, considere o sistema
\[\left\{\begin{array}{ccccccc} x&+&y&+&az&=&1\\x&+&(1+a)y&+&(2+a)z&=&1\\2x&+&2y&+&(a^2+2a-4)z&=&a\end{array}\right.\]a) Determine os valores de $a$ para os quais o sistema tem: solução única, infinitas soluções, nenhuma solução.
Solução
b) Encontre o conjunto solução em cada caso que o sistema é solúvel. -
Sendo
\[ A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&1\\2&1&1\end{array}\right) \hspace{1cm} X=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) \] determine os valores de $\lambda$ para que o sistema $AX=\lambda X$ tenha uma, nenhuma ou infinitas soluções.
Solução -
Considere o sistema
\[ \left\{\begin{array}{lcl} x_{1} + 2x_{2} - 3x_{4} + x_{5} &=& 2\\ x_{1} + 2x_{2} + x_{3} - 3x_{4} + x_{5} &=& 3\\ x_{1} + 2x_{2} - 3x_{4} + 2x_{5} &=& 4\\ 3x_{1} + 6x_{2} + x_{3} - 9x_{4} + 4x_{5} &=& 9\end{array}\right.\] a) Escreva o sistema acima na forma matricial $AX = B$ e determine a matriz $A$.
b) Usando o método de Gauss-Jordan de linha equivalência encontre a forma escalonada reduzida (ou forma escada) da matriz aumentada do sistema.
c) Determine as variáveis livres da solução geral do sistema.
d) Escreva a solução geral desse sistema.
Solução -
Considere o sistema linear que depende de um parámetro \[ \left\{\begin{array}{lllcc} x&+y&+z&=&23\\ x&+y&+(1-k^2)z&=&23+2k\\ x&&-k^2z&=&23+2k\\ \end{array} \right.\] Determine os valores de $k$ para que o sistema tenha solução única, infinitas soluções ou seja sem solução. Resolva o sistema para $k=1$.
Solução -
Verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
a) Seja $AX=B$ um sistema linear com $m$ equações e $n$ variáveis. Se $n
c) Seja $A$ uma matriz $n \times n$ tal que $A^4 - A^2 + A = 3 I_n$, então $A$ é invertível.
d) Se $A,B$ e $C$ são matrizes $n\times n$, então $\det(A(B + C)) = \det(AB) + \det(AC)$.
Solução -
Determine se o conjunto $\mathcal{B}$ de vetores a seguir são linearmente independentes. Justifique.
a) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(1,1,1)$, $\vec{v}=(1,1,-1)$ e $\vec{w}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(1,1,1)$ e $Q=(1,2,2)$.
b) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(-1,1,0)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, para $A=(2,-1,0)$ e $B=(1,0,1)$, e $\vec{w}=(-1,1,\frac{1}{2})$.
c) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(1,0,1)$ e $\vec{v}=(1,1,1)$.
d) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(1,1)$ e $\vec{v}=(1,-1)$.
e) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(4,6)$ e $\vec{v}=(-2,-3)$.
Solução -
Determine se o conjunto $\mathcal{B}$ de vetores a seguir é linearmente independente ou não. Justifique.
a) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(1,1,1)$, $\vec{v}=(1,1,-1)$ e $\vec{w}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(1,1,1)$ e $Q=(2,2,1)$.
b) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(-1,1,0)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, para $A=(1,-1,1)$ e $B=(1,0,1)$, e $\vec{w}=(-1,1,1)$.
c) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(1,1,-2)$ e $\vec{v}=(1,-1,1)$.
d) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(2,-6)$ e $\vec{v}=(-1,3)$
e) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(1,2)$ e $\vec{v}=(-2,1)$
Solução -
Faça o produto escalar $\vec{u}\cdot \vec{v}$ para os seguintes casos. Também ache o cosseno do ângulo formado pelos vetores.
a) $\vec{u}=(1,1,1)$, $\vec{v}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(-1,1,1)$ e $Q=(1,1,-2)$.
b) $\vec{u}=(-1,1,0)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, para $A=(2,1,0)$ e $B=(1,1,1)$
c) $\vec{u}=(1,1)$ e $\vec{v}=\overrightarrow{CD}$ para $C=(1,0)$ e $D=(0,-1)$.
d) $\vec{u}=(1,2)$ e $\vec{v}=(2,2)$.
Solução -
Faça o produto escalar $\vec{u}\cdot \vec{v}$ para os seguintes casos. Também ache o cosseno do ângulo formado pelos vetores.
a) $\vec{u}=(1,2,1)$, $\vec{v}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(1,1,1)$ e $Q=(1,1,2)$.
b) $\vec{u}=(-1,1,2)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, para $A=(2,1,0)$ e $B=(0,1,-1)$.
c) $\vec{u}=(1,-1)$ e $\vec{v}=\overrightarrow{CD}$ para $C=(1,1)$ e $D=(1,-1)$.
d) $\vec{u}=(1,3)$ e $\vec{v}=(3,-3)$.
Solução -
Determine a área do triângulo $\widehat{ABC}$, onde $A=(1,0,1)$, $B=(1,1,1)$ e $C=(2,-1,1)$ das seguintes formas:
i- Utilizando produto vetorial.
ii- Calculando pela fórmula $A=\frac{\textrm{base}\times \textrm{altura}}{2}.$
Solução -
Verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
a) Os pontos \[A=(0,1,1),~~B= (1,1,1),~~C= (3,-3,1)~~\textrm{e}~~D= (-5,2,4)~~\textrm{de}~\mathbb{R}^3\] são coplanares.
b) Sejam $\vec{u}, \vec{v}$ e $\vec{w}$ três vetores no espaço tais que $\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = \vec{0}$, então \[\vec{u} \times \vec{v} = \vec{v} \times \vec{w} = \vec{w} \times \vec{u}.\] Solução -
Considere dois vetores $\vec{v}$ e $\vec{w}$ tais que $||\vec{v}||=5,$ $||\vec{w}||=2$ e o ângulo entre $\vec{v}$ e $\vec{w}$ é $\pi/3$. Determine, como combinação linear de $\vec{v}$ e $\vec{w},$
a) Um vetor $\vec{u}$ tal que $\vec{u}\cdot \vec{v}=20$ e $\vec{u}\cdot \vec{w}=5$
b) Um vetor $\vec{u}$ tal que $\vec{u}\times \vec{v}=\vec{0}$ e $\vec{u}\cdot \vec{w}=12$
(este é o ex. 3.2.16 do Livro Matrizes, vetores e Geometria Analítica de Reginaldo Santos).
Solução -
Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ dois vetores que satisfazem \[ ||\vec{u}||=3\quad ||\vec{v}||=8\quad\vec{u}\cdot\vec{v}=-12. \] Considere $\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}$. Calcule \[ ||Proj_{\vec{u}}\vec{w}||\quad e\quad ||Proj_{\vec{v}}\vec{w}||.\]
Solução -
Sejam \[A=(1,-2,1)\quad B=(-1,0,2)\quad C=(3,20,150)\]e considere o triângulo $\widehat{ABC}$. Determine o ponto $R$ de forma tal que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{RC}$ e $\overrightarrow{AR}$ seja paralelo a $\overrightarrow{AB}$. Solução
-
Considere \[\vec{u}=3\vec{v}-5\vec{w}\] onde $||\vec{v}||^2=4$, $||\vec{w}||^2=3$ e $\vec{v}\cdot\vec{w}=1$. Calcule
- $\vec{u}\cdot\vec{v}$,
- $\vec{u}\cdot\vec{w}$,
- $||\vec{u}-2\vec{v}||^2$,
- $||\vec{u}-2\vec{w}||^2$,
- $||\vec{u}-\vec{v}||^2$,
- $||\vec{u}-\vec{w}||^2.$
Solução -
Considere as retas $r_1$, $r_2$ de equações \[ r_1:\left\{\begin{array}{ccc} x&=&1+\lambda\\ y&=&1+\lambda\\ z&=&1+2\lambda\\ \end{array} \right.\quad \lambda\in \mathbb{R}\quad\quad r_2:\frac{x-1}{2}=y-1=z \] Ache um ponto $Q_1\in r_1$ e um vetor $\vec{v}_1\parallel r_1$ e um ponto $Q_2\in r_2$ e um vetor $\vec{v}_2\parallel r_2$. Prove que elas são reversas de três formas diferentes
1- Mostrando que $r_1\cap r_2=\emptyset$.
2- Mostrando $\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}$ é linearmente independente e que $d(r_1,r_2)>0$.
3- Mostrando que $\{\overrightarrow{Q_1Q_2},\vec{v}_1,\vec{v}_2\}$ é linearmente independente.
Solução Considere um paralelogramo $\widehat{ABDC}$ de com vertices em $A=(0,1,-1),~B=(0,0,1),~D=(2,-1,1)$. Determine
a) o plano $\pi$ que contém $A,~B,~D$,
b) o ponto $C$, e verifique que $C\in \pi$,
c) a área do triângulo $\widehat{ABC}$ utilizando produto vetorial,
d) a área do triângulo $\widehat{ABC}$ utilizando a fórmula $A=\frac{ (base)\cdot (altura) }{2}$ onde a base é dada pelo segmento $\overline{AC}$.
Solução-
Considere as retas \[ r:\left\{\begin{array}{cclc}x&=&6\alpha\\y&=&-6-14\alpha&\quad\alpha\in\mathbb{R},\\z&=&8+8\alpha\end{array}\right.\] \[ s:\left\{\begin{array}{cclc}x&=&2-78\beta\\y&=&8-114\beta&\quad\beta\in\mathbb{R}.\\z&=&-6-104\beta\end{array} \right.\] Determine se são reversas, paralelas ou concorrentes e o ângulo entre elas. Caso sejam reversas ou paralelas ache a distância entre elas.
Solução -
Achar a interseção dos planos \[ \pi_1:~7x-y-z=5, \] \[ \pi_2:~x+y-7z=-5. \]
Solução -
Considere o plano \[\pi: 3x+2y+2z=0\] e o ponto $A=(3,6,-2)$. Ache a equação simétrica da reta $r$ paralela ao plano e que passa pelo ponto $B$, simétrico a $A$ em relação ao plano $\pi,$ e é perpendicular ao vetor $\vec{v}=(-6,13,-4).$
Solução Considere as retas \[ r_1:\left\{\begin{array}{ccc}x-2y+z=1\\x+y-2z=0\end{array}\right.\hspace{1cm}r_2:~\frac{x-1}{2}=\frac{1-z}{2}\hspace{.3cm}y=0;\] Determine:
a) se são iguais, paralelas, concorrentes ou reversas,
b) a distância entre elas,
c) o ângulo entre elas.
Solução-
As retas $r$ e $s$ são dadas por $$r:=\left\{\begin{array}{l}x= 1 - t\\y= 2 +3t \\z=t\end{array}\right.\:t \in \mathbb{R} \:\:\:, \:\:s:=\left\{\begin{array}{l}x= 2\\y= 2+p \\z=-p\end{array}\right. \:p \in\mathbb{R}$$
a) Encontrar a distância entre as retas $r$ e $s$ e mostrar que as duas retas são reversas.
b) Encontrar as equações dos planos paralelos $\pi_1$ e $\pi_2$, tais que $r$ está contida em $\pi_1$ e $s$ está contida em $\pi_2$.
c) Encontrar o ângulo entre as retas $r$ e $s$
Solução -
As retas $r$ e $s$ são dadas por $$r:=\left\{\begin{array}{l}x= 1 +2t\\y=3+t \\z=1-t\end{array}\right. \:t \in \mathbb{R} \:\:\:, \:\: s:= \left\{x+2 = \frac{y-2}{-1} \:\:\mbox{ e } \:\: z=1 \right\}$$
a) Encontrar a distância entre as retas $r$ e $s$ e mostrar que as duas retas são reversas.
b) Encontrar a equação paramétrica da reta $l$, concorrente com ambas retas $r$ e $s$, e paralela ao vetor $\overrightarrow{V}=(0,3,1)$.
Solução -
Achar a equação da reta $r_3$ que intersepta as retas \[ r_1:~\left\{\begin{array}{cclc} x&=&-1+2t&\\ y&=&1+t&\quad t\in\mathbb{R}\\ z&=&0 \end{array}\right.\] e \[ r_2:~x-2=\frac{y-4}{2}\quad e\quad z=3\] e é perpendicular a ambas. Solução
Dados quatro vértices, $O=(0,0,0)$, $A = (-2,-1,1)$, $B = (1,1,1)$, e $C = (5,1,-1)$ de um paralelepípedo,
a) Encontrar a equação do plano que contém os vértices $0$, $A$, e $B$.
b) Encontrar a equação do plano que contém os vértices $C$, $D$, e $E$.
c) Encontrar a equação da reta que passa pelos vértices $C$ e $D$.
d) Encontrar as coordenadas dos pontos $D$ e $E$.
Solução-
Encontrar equações paramétricas assim como uma equação linear que descreva os planos $\pi_1$ e $\pi_2$ que contém a reta $r$ definida por $$r:=\left\{\begin{array}{l}x= 1 + t\\y=-1+t\\z=2t\end{array}\right. \:t \in \mathbb{R} \:\:\:$$ e tais que $(1,0,0) \in \pi_1$ e $(0,0,0)\in \pi_2$.
b) Encontre o ângulo entre os dois planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
Solução Dados o plano \[\pi: 2x+2y-z=6\] e o ponto $P:(2,2,-4)$, encontre
a) a distância de $P$ a $\pi$.
b) a equação da reta que passa por $P$ e é ortogonal a $\pi$.
c) o ponto $Q$ em $\pi$ de forma que a distância de $P$ a $Q$ seja igual a distândica de $P$ a $\pi$
SoluçãoAs retas $r$ e $l$ são dadas por: \[r=\left\{\begin{array}{cc}x=0\\y=2-t&,\hspace{.2cm} t\in \mathbb{R}\\z=1-t\end{array}\right. \hspace{1cm}l=\left\{\begin{array}{cc} x-4=z-1\\y=3. \end{array}\right.\]
a) Mostrar que $r$ e $l$ são reversas.
b) Encontrar os planos $\pi$ e $\alpha$ tais que: $r\subset \pi$, $l\subset \alpha$ e $\pi$ {\'e} paralelo a $\alpha$.
c) Encontrar a distância entre os planos $\pi$ e $\alpha$ do item anterior.
d) Encontrar os pontos $P$ em $r$ e $Q$ em $l$ tais que a reta que passa por $P$ e $Q$ seja perpendicular a $r$ e a $l$.
SoluçãoEncontrar a equação do plano $\pi$ que é perpendicular a cada um dos planos \[\alpha\colon x-y-2z=0\hspace{2cm} \beta\colon 2x+y-4z-5=0\] e contém o ponto $A=(4,0,-2)$.
Solução
a) Encontre equações paramétricas assim como uma equação linear que descrevam o plano contendo os pontos \[P_1=(1,0,0),\hspace{.3cm}P_2=(1,2,-1)\hspace{.3cm} \textrm{e} \hspace{.3cm}P_3=(0,-1,2).\]
b) Encontre a interseção do plano do item (a) com a reta determinada por \[x+2z=1,\hspace{.3cm}y=2.\]
c) Determine o cosseno do ângulo formado pela reta e o plano dos itens anteriores.
SoluçãoDetermine se os seguintes pontos do $\mathbb R^3$ são coplanares: \[P_1=(1,0,1),\hspace{.3cm}P_2=(2,1,3),\hspace{.3cm}P_3=(1,1,1),\hspace{.3cm}P_4=(2,2,3).\]
SoluçãoConsidere a reta $r_1$ que passa por $Q=(0,0,1)$ e tem $\vec{v}=(1,2,-1)$ como vetor diretor, assim como a reta $r_2$ dada por \[\frac{x+1}{3} = \frac{y-1}{2} = z.\]
1) Encontre os pontos de $P_1\in r_1$ e $P_2\in r_2$ que satisfazem $d(P_1,P_2)=d(r_1,r_2)$.
2) Encontre as projeções ortogonais da origem em $r_1$ e $r_2$. (A projeção ortogonal de um ponto $P$ em uma reta $r$ é a interseção de $r$ com a reta $S$ que contém $P$ e intersecta $r$ ortogonalmente.)
3) Encontre equações lineares dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$ que contém $r_1$ e $r_2$, respectivamente, e satisfazem $d(\pi_1,\pi_2) = d(r_1,r_2)$.
SoluçãoConsidere os planos \[ \pi_1:\left\{(x,y,z),~x-y=-2\right\},\] \[ \pi_2:\left\{\begin{array}{cclc} x&=&1+2\alpha+\beta&\\ y&=&2+2\alpha&\hspace{.5cm}\alpha,\beta\in \mathbb{R}.\\ z&=&1+2\alpha+\beta \end{array} \right. \] e a reta \[ r:\left\{(x,y,z),~x=y-1=z\right\}. \] Determine
i- a reta $s:\pi_1\cap \pi_2$
ii- $d(r,\pi_1)$
iii- se existe um plano $\pi_3$ que contém as retas $r$ e $s$.
Solução-
Considere o plano $\pi$ de equação \[ \pi:\left\{\begin{array}{cclc}x&=&3+2\alpha+2\beta\\ y&=&\alpha\hspace{3cm}\alpha,\beta\in\mathbb{R}\\ z&=&-1+\alpha+\beta \end{array} \right. ,\] e o ponto $A=(3,0,4)$. Determine o ponto $B$ que é simétrico a $A$ em relação ao plano.
Solução -
Determine o valor de $x$ para que os pontos \[ A=(-1,7,1)\quad B=(4,7,4)\quad C=(29,9+x,5)\quad D=(2,9,3)\] sejam coplanares.
Solução Considere a cônica de equação\[ 3x^2+6x+y^2-4y+4=0.\] Faça uma translação de coordenadas de forma tal que no novo sistema a equação da cônica acima esteja na forma canônica. Identifique a cônica e determine seus focos e vértices. Faça um esboço do gráfico.
Solução-
Seja $\mathcal{C}$ o lugar geométrico dos pontos $P=(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem $$2y^2 - 3x^2 - 4y +12x+8=0$$ a) Qual é o tipo de cônica $\mathcal{C}$? Encontrar novas coordenadas para escrever a equação de $\mathcal{C}$ na forma canônica.
b) Encontrar os focos, os vértices e a excentricidade de $\mathcal{C}$ nas coordenadas $x$ e $y$. No caso de hipérbole, encontrar também as equações das assíntotas em $x$ e $y$.
Fazer um esboço do gráfico da cônica $\mathcal{C}$.
Solução Seja $\ell$ o lugar geométrico dos pontos $P=(x,y)$ no plano cujas coordenadas satisfazem a equação \[\ell\colon 9x^2 -16y^2 - 54x + 48 y + 81=0.\]
a) Determinar que tipo de cônica é $\ell$. Escrever a equação canônica de $\ell$.
b) Encontrar os focos, a excentricidade e os vértices de $\ell$. Se $\ell$ for hipérbole, encontrar as equações das assíntotas de $\ell$.
SoluçãoConsidere a cônica de equação \[ 2x^2+3y^2+4x-12y+8=0\] Determine
a) se é elipse, hipêrbole ou parábola,
b) focos, vértices e assíntotas (se houver) no sistema de coordenadas $S=\{O,~\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}\}$,
c) exentricidade,
d) um esboço do gráfico.
SoluçãoConsidere a cônica de equaçao \[ 3x^2-2y^2+2y+6x=5\]
- Identifique a cônica.
- Faça as mudanças de coordenadas necessárias para levar a equação da cônica a uma forma canônica.
- Determine focos, vértices e assíntotas (se houver) no sistema de coordenadas $xy$
Solução-
Considere a parábola de equação \[ x^2+y^2+2xy+24x-24y=144. \] Determine Foco, Vértice e reta diretriz. Faça um esboço da mesma contendo os dados achados.
Solução -
Considere uma rotação de coordenadas de um sistema $S=\{O=(0,0),~\{\vec{e}_1=(1,0),\vec{e}_2=(0,1)\}\}$ para um sistema $S'=\{O'=(0,0),~\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}\}$ em que $\vec{u}_1=k(6,-8)$ para algúm $k>0$.
- Quais são as coordenadas, no sistema $S'$, do ponto $P$ que no sistema $S$ tem coordenadas $P=(20,30)$.
- Qual é a equação, no sitema $S'$, da reta $r$ que no sistema $S$ tem por equação $ r:~3x-2y=70$.
Solução Determine, em cada caso, a rotação de coordenadas do sistema $xy$ a um novo sistema de coordenadas $x'y'$ segundo corresponda. \begin{itemize}
- O ponto $P$, que no sistema $xy$ tem coordenadas $P=(3,4)$, no novo sistema de coordenadas $P$ esteja na parte negativa do eixo $y'$.
- O ponto $Q$, que no sistema $xy$ tem coordenadas $Q=(2,1)$, no novo sistema de coordenadas $Q$ esteja na parte positiva do eixo $x'$.
Solução-
Considere a cônica de equação \[ -26x^2+6y^2+24xy+360x-120y=900.\] Determine os focos e vértices. Com essa informação faça um esboço da cônica.
Solução Utilize a rotação dos eixos para achar a equação canônica da cônica de equação \[ x^2+Bxy+y^2=1. \] Encontre a sua exentricidade.
SoluçãoConsidere a cônica de equação \[ -26x^2+24xy+6y^2+18\sqrt{10}x-6\sqrt{10}y=180\]
- Identifique a c\^onica.
- Faça as mudanças de coordenadas necessárias para levar a equação da cônica a uma forma canônica.
- Determine focos, vértices e assíntotas (se houver) no sistema de coordenadas $xy$
Solução-
Seja $\mathcal{C}$ o lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem $$5 x^2-2xy+5y^2-16\sqrt{2}x+8\sqrt{2}y+4=0$$ Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam $\mathcal{C}$ à forma canônica e identificar a cônica $\mathcal{C}$.
Solução Considere a cônica de equação \[(x+1)y=\frac{1}{2}.\] Determine
a) se é elipse, hipérbole ou parábola,
b) focos, vértices e assíntotas (se houver) no sistema de coordenadas $\widehat{xy}$,
c) exentricidade,
d) uma parametrização da curva.
SoluçãoSeja $\ell$ o lugar geométrico dos pontos $P=(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem \[4x^2 -4xy + 7y^2 +12x +6y -9=0.\]
a) Identificar a cônica $\ell$.
b) Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam $\ell$ à forma canônica.
c) Encontrar a excentricidade de $\ell$. Encontrar também as coordenadas dos focos, dos vértices e as equações das assíntotas (se aplicável) no sistema $Oxy$ .
SoluçãoSeja $\mathcal{C}$ a curva do plano constituída dos pontos que satisfazem a equação \[3x^{2}+3y^{2}+2xy+4\sqrt{2}x-4\sqrt{2}y=-4.\]
(a) Encontre a forma canônica (ou reduzida) de $\mathcal{C}$.
(b) Encontre as coordenadas do(s) foco(s) da curva $\mathcal{C}$ em relação ao sistema de eixos $XY$.
(c) Esboce o desenho da curva $\mathcal{C}$ no sistema de eixos $XY$.
Solução-
Seja $\mathcal{C}$ o lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem $$4x^2-4xy+7y^2+12x+6y-9=0$$ a) Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam $\mathcal{C}$ à forma canônica e identificar a cônica $\mathcal{C}$.
b) Determine excentricidade, vértices, focos e assíntotas (se houver)
Solução -
Ache vértices e focos da cônica de coordenadas polares \[-9r+14580-81r\sin(\theta)=0.\]
Solução Considere a cônica de equação dada em coordenadas polares por \[r-2r\sin(\theta)=2.\] Ache os vértices e focos em coordenadas polares e cartesianas de duas formas diferentes:
a- Estudando a equação em coordenadas polares.
b- Transformando as equações a coordenadas cartesianas e estudando a cônica por meio de uma rotação e traslação.
SoluçãoConsidere a cônica de equação dada em coordenadas polares por \[2r+\sqrt{3}r\cos(\theta)+r\sin(\theta)=1.\] Ache os vértices e focos em coordenadas polares e cartesianas de duas formas diferentes:
a- Estudando a equação em coordenadas polares.
b- Transformando as equações a coordenadas cartesianas e estudando a cônica por meio de uma rotação e traslação.
SoluçãoConsidere a cônica cuja equação em coordenadas polares é dada por \[r=\frac{1}{2+\sin(\theta)}.\] Determine
i) tipo de cônica
ii) a equação da cônica em coordenadas cartesianas.
Solução
(a) Encontre as coordenadas polares $(r,\theta)$ do ponto $(1,1)$.
(b) Determine as coordenadas cartesianas de todos os pontos que estão sobre uma reta paralela ao eixo polar a $\theta=\pi$ unidades dele.
(c) Reescreva a equação $2xy =25$ em coordenadas polares.
(d) Reescreva a equação $r = 3 \cos(\theta)$ em coordenadas cartesianas.
Solução-
a) Determine a superfície cônica, com vértice na origem, obtida a partir da curva definida por $$x^2 + \frac{y^2}{3} = 1 \mbox{ e } z=2.$$ b) Encontre uma parametrização dela.
Solução -
Mostre que $$9x^2 + y^2 +2z^2 +2xy-8xz -1 = 0 $$ determina a equação de uma superfície cilíndrica e determine uma equação da curva diretriz e um vetor paralelo com a reta geratriz.
Solução Considere a superfície de revolução $S$ obtida de rotacionar a curva \[\ell:z=y^2,\] no plano $yz$ ao redor do eixo $z.$ Determinar
i- a equação da superfície $S$ em coordenadas cartesianas.
ii- a equação da superfície $S$ em coordenadas cilíndricas.
iii- a equação da superfície $S$ em coordenadas esféricas.
Solução-
Encontrar a equação da superfície cilíndrica determinada pelo vetor $\vec{v}=(1,-1,2)$ e a curva diretriz \[\mathcal{C}:\left\{\begin{array}{r} z^2+4yz - y^2 +3y -5 =0\\x=0 \end{array}\right..\] Solução
(a) Determine a equação da superfície cilíndrica com curva diretriz \[ \mathcal{C}=\left\{\begin{array}{cc} x^2-y^2&=1\\z&=0\end{array}\right.\] e vetor paralelo as retas geratrizes $W=(0,2,-1)$.
(b) Dada a equação da curva diretriz \[ \mathcal{C}=\left\{\begin{array}{cc}y-x^2&=0\\z&=2 \end{array} \right. \] determine a equação da superfície cônica que tem vértice na origem $O=(0,0,0)$
(c) Mostre que a equação $x^2+y^2-z^3=0$ representa uma superfície de revolução e ache uma parametrização dela.
SoluçãoEncontrar a equação (em coordenadas cartesianas) da superfície cilíndrica $S$ com curva diretriz \[C\colon x^2+4y=0\] no plano $z=0$ e retas geratrizes paralelas ao vetor \[\vec{v}=(-2,4,-6).\]
SoluçãoSeja $S$ o conjunto dos pontos $P=(x,y,z)$ no espaço cujas coordenadas cartesianas $x$, $y$, $z$ satisfazem a equação \[x^2 + y^2 + z^2 = 9z.\]
a) Determinar que tipo de superfície é $S$.
b) Escrever a equação de $S$ em coordenadas esféricas, escolhendo adequadamente o polo e os eixos.
Solução-
Seja $\mathcal{S}$ o conjunto dos pontos no espaço cujas coordenadas cartesianas $x,y,z$ satisfazem a equação $$3y^2 - z^2 +6y -6x + 15 =0$$ a) Determinar que tipo de superfície quádrica é dada por $\mathcal{S}$, encontrando a mudança de coordenadas que levam a equação canônica.
b) Determinar que tipo de cônica obtemos intersecando $\mathcal{S}$ com o plano $x=3$.
c) Escrever a equação de $\mathcal{S}$ em coordenadas esféricas.
Solução Seja $S$ a superfície com equação (em coordenadas cartesianas) \[S\colon -\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} - \displaystyle\frac{z^2}{c^2} =1.\] Determinar equações paramétricas para a superfície $S$.
Solução