Exercícios

  1. Calcular a inversa da matriz
    A=(122131132) Solução

  2. Calcule a inversa da matriz
    A=(1111111111111111)
    Depois faça $A^{-1}A$ e mostre que é igual a identidade $I.$
    Solução

  3. Calcule a inversa da matriz
    A=(2222111111111001)
    Depois faça $A^{-1}A$ e mostre que é igual a identidade $I.$
    Solução

  4. Encontre a inversa de
    A=(1100000011000000110000001100000011000000110000001). Solução

  5. Sabendo que a matriz (1111111111111111111111111) é invertível, calcule a inversa de $A.$ Solução

  6. Considere a matriz
    A=(101011x1011x1111)

    i- Determine os valores de $x$ que tornam a matriz $A$ invertível
    ii- Calcule o determinante de $A$ e de $A^{-1}$ para cada $x$ que torna $A$ invertível.
    iii- Ache a inversa de $A$ para o caso $x=3$.

    Solução

  7. Dada a matriz
    A=(1111022200110001) Determinar
    i- Inversa de $A$
    ii- Determinante de $A$ e de $A^{-1}.$
    Solução

  8. Calcular o determinante da matriz A=(aij)M(5×5,R), cujas entradas são da forma aij=1+xiyj para $x_t$, $y_t$ números reais quaisquer para todo $1\le t\le 5$.
    Solução

  9. Calcule o determinante de
    B=(1111111111x11111x21111x31111x41111x511111). Solução

  10. Calcule o determinante de
    A=(1111111111111111111111111)
    A matriz $A$, é invertível? Justifique.
    Solução

  11. Calcule o determinante de
    A=(2224411111311534223110111)
    A matriz $A$, é invertível? Justifique.
    Solução

  12. Seja $A=(a_{i,j})$ a matriz $5\times 5$ cuja entrada na posição $(i,j)$ é $\max\{i,j\}$, o maior entre $i$ e $j$, para todo $i$ e $j$. Calcule $\det(A)$ e conclua se $A$ é ou não invertível.
    Solução

  13. Calcule o determinante da matriz A=(4242262242111111110111111)
    Solução

  14. Considere a matriz $A$, que depende do parámetro $k,$ dada por A=(2054k4k1k2014k0). Determinar
    a) para quais valores de $k$ a matriz $A$ é invertível.
    b) a inversa de $A$ para o caso $k=0.$
    Solução

  15. Considere a matriz, que depende do parámetro $k$, A=(1203k8+2kk108k+80)
    a) Determinar, para quais valores reais de $k$ a matriz $A$ é invertível.
    b) Calcular a inversa, para o caso $k=2$ usando a matriz adjunta e para $k=0$, utilizando operações elementares nas linhas.
    Solução

  16. Determinar para quais valores reais de $a$ a seguinte matriz A=(a3a2a4aa13a972a)é invertível.
    Solução

  17. Calcule o determinante da matriz A=(1231596312622861)
    Solução

  18. Calcule o determinante da matriz (2112y111111111111111111113). Determine para quais valores de $y$ a matriz é invertível.
    Solução

  19. Considere a matriz A=(111x111111111112) Calcule $\det(A)$, e $\det(A^{-1})$.
    Solução

  20. Considere o sistema linear que depende de um parámetro {x+y+3z=3x+(a+1)y+3z=42x+2y+2az=2a. Determine o conjunto solução para os diferentes valores de $a.$
    Solução

  21. Considere o sistema linear {xy+z=1xyaz=1x+ay+z=3

    a) Determine os valores de $a$ para os quais o sistema tem solução única.
    b) Determine o conjunto solução para $a=1$
    c) Determine o conjunto solução para $a=-1$
    d) Determine o conjunto solução para $a=3$
    Solução

  22. Considere o sistema linear {ax+y+z=1x+ay+z=1x+y+az=1que depende de um parâmetro $a.$
    a)Determine os valores de $a$ para os quais o sistema tem solução única e ache a solução.
    b) Determine o conjunto solução para $a=1$
    c) Determine o conjunto solução para $a=0$
    d) Determine o conjunto solução para $a=-1$
    Solução

  23. Considere o sistema linear nas três variáveis $x,y,~z$ dado por {x3y4z=3ax+3yaz=0x+3ay10z=b Determine para quais valores de $a$ e $b$ o sistema
    a) tem solução única;
    b) tem infinitas soluções
    c)n\~ao tem solução.
    Solução

  24. Considere o sistema linear nas três variáveis $x,y,z$ {x+y+kz=1x+ky+z=1kx+y+z=1
    Determinar os valores de $k$ o sistema tem: solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
    Nos casos onde tiver solução, resolver o sistema.
    Solução

  25. Considere o sistema linear nas três variáveis $x,y,z$ {x+ay=2(a+1)x+2y+(a+2)z=3b2x+ay+(a+2)z=b+2
    i) Determinar os valores de $a$ e $b$ para os quais o sistema tem: solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução
    ii) Nos casos onde tiver solução, resolver o sistema.
    Solução

  26. Considere o sistema linear
    {(2p)x+(2p)y+z=1x+y+(2p)z=1(32p)x+(2p)y+z=p, com 3 equações e 3 variáveis. Determinar os valores de $p$ para os quais o sistema tem:
    a) Solução única;
    b) Várias soluções;
    c) Nenhuma solução.
    d) Nos casos a) e b), resolver o sistema.
    Solução

  27. Dado $a\in\mathbb{R}$, considere o sistema
    {x+y+az=1x+(1+a)y+(2+a)z=12x+2y+(a2+2a4)z=a

    a) Determine os valores de $a$ para os quais o sistema tem: solução única, infinitas soluções, nenhuma solução.
    b) Encontre o conjunto solução em cada caso que o sistema é solúvel.

    Solução

  28. Sendo
    A=(100111211)X=(xyz) determine os valores de $\lambda$ para que o sistema $AX=\lambda X$ tenha uma, nenhuma ou infinitas soluções.
    Solução

  29. Considere o sistema
    {x1+2x23x4+x5=2x1+2x2+x33x4+x5=3x1+2x23x4+2x5=43x1+6x2+x39x4+4x5=9 a) Escreva o sistema acima na forma matricial $AX = B$ e determine a matriz $A$.
    b) Usando o método de Gauss-Jordan de linha equivalência encontre a forma escalonada reduzida (ou forma escada) da matriz aumentada do sistema.
    c) Determine as variáveis livres da solução geral do sistema.
    d) Escreva a solução geral desse sistema.
    Solução

  30. Considere o sistema linear que depende de um parámetro {x+y+z=23x+y+(1k2)z=23+2kxk2z=23+2k Determine os valores de $k$ para que o sistema tenha solução única, infinitas soluções ou seja sem solução. Resolva o sistema para $k=1$.
    Solução

  31. Verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.

    a) Seja $AX=B$ um sistema linear com $m$ equações e $n$ variáveis. Se $n b) Toda matriz é produto de matrizes elementares.
    c) Seja $A$ uma matriz $n \times n$ tal que $A^4 - A^2 + A = 3 I_n$, então $A$ é invertível.
    d) Se $A,B$ e $C$ são matrizes $n\times n$, então $\det(A(B + C)) = \det(AB) + \det(AC)$.
    Solução

  32. Determine se o conjunto $\mathcal{B}$ de vetores a seguir são linearmente independentes. Justifique.

    a) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(1,1,1)$, $\vec{v}=(1,1,-1)$ e $\vec{w}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(1,1,1)$ e $Q=(1,2,2)$.
    b) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(-1,1,0)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, para $A=(2,-1,0)$ e $B=(1,0,1)$, e $\vec{w}=(-1,1,\frac{1}{2})$.
    c) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(1,0,1)$ e $\vec{v}=(1,1,1)$.
    d) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(1,1)$ e $\vec{v}=(1,-1)$.
    e) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(4,6)$ e $\vec{v}=(-2,-3)$.
    Solução

  33. Determine se o conjunto $\mathcal{B}$ de vetores a seguir é linearmente independente ou não. Justifique.
    a) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(1,1,1)$, $\vec{v}=(1,1,-1)$ e $\vec{w}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(1,1,1)$ e $Q=(2,2,1)$.
    b) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ com $\vec{u}=(-1,1,0)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, para $A=(1,-1,1)$ e $B=(1,0,1)$, e $\vec{w}=(-1,1,1)$.
    c) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(1,1,-2)$ e $\vec{v}=(1,-1,1)$.
    d) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(2,-6)$ e $\vec{v}=(-1,3)$
    e) $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$ com $\vec{u}=(1,2)$ e $\vec{v}=(-2,1)$
    Solução

  34. Faça o produto escalar $\vec{u}\cdot \vec{v}$ para os seguintes casos. Também ache o cosseno do ângulo formado pelos vetores.
    a) $\vec{u}=(1,1,1)$, $\vec{v}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(-1,1,1)$ e $Q=(1,1,-2)$.
    b) $\vec{u}=(-1,1,0)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, para $A=(2,1,0)$ e $B=(1,1,1)$
    c) $\vec{u}=(1,1)$ e $\vec{v}=\overrightarrow{CD}$ para $C=(1,0)$ e $D=(0,-1)$.
    d) $\vec{u}=(1,2)$ e $\vec{v}=(2,2)$.
    Solução

  35. Faça o produto escalar $\vec{u}\cdot \vec{v}$ para os seguintes casos. Também ache o cosseno do ângulo formado pelos vetores.
    a) $\vec{u}=(1,2,1)$, $\vec{v}=\overrightarrow{PQ}$ para $P=(1,1,1)$ e $Q=(1,1,2)$.
    b) $\vec{u}=(-1,1,2)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, para $A=(2,1,0)$ e $B=(0,1,-1)$.
    c) $\vec{u}=(1,-1)$ e $\vec{v}=\overrightarrow{CD}$ para $C=(1,1)$ e $D=(1,-1)$.
    d) $\vec{u}=(1,3)$ e $\vec{v}=(3,-3)$.
    Solução

  36. Determine a área do triângulo $\widehat{ABC}$, onde $A=(1,0,1)$, $B=(1,1,1)$ e $C=(2,-1,1)$ das seguintes formas:
    i- Utilizando produto vetorial.
    ii- Calculando pela fórmula $A=\frac{\textrm{base}\times \textrm{altura}}{2}.$
    Solução

  37. Verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
    a) Os pontos A=(0,1,1),  B=(1,1,1),  C=(3,3,1)  e  D=(5,2,4)  de R3 são coplanares.
    b) Sejam $\vec{u}, \vec{v}$ e $\vec{w}$ três vetores no espaço tais que $\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = \vec{0}$, então u×v=v×w=w×u. Solução

  38. Considere dois vetores $\vec{v}$ e $\vec{w}$ tais que $||\vec{v}||=5,$ $||\vec{w}||=2$ e o ângulo entre $\vec{v}$ e $\vec{w}$ é $\pi/3$. Determine, como combinação linear de $\vec{v}$ e $\vec{w},$
    a) Um vetor $\vec{u}$ tal que $\vec{u}\cdot \vec{v}=20$ e $\vec{u}\cdot \vec{w}=5$
    b) Um vetor $\vec{u}$ tal que $\vec{u}\times \vec{v}=\vec{0}$ e $\vec{u}\cdot \vec{w}=12$
    (este é o ex. 3.2.16 do Livro Matrizes, vetores e Geometria Analítica de Reginaldo Santos).
    Solução

  39. Sejam $\vec{u}$ e $\vec{v}$ dois vetores que satisfazem ||u||=3||v||=8uv=12. Considere $\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}$. Calcule ||Projuw||e||Projvw||.
    Solução

  40. Sejam A=(1,2,1)B=(1,0,2)C=(3,20,150)e considere o triângulo $\widehat{ABC}$. Determine o ponto $R$ de forma tal que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{RC}$ e $\overrightarrow{AR}$ seja paralelo a $\overrightarrow{AB}$. Solução

  41. Considere u=3v5w onde $||\vec{v}||^2=4$, $||\vec{w}||^2=3$ e $\vec{v}\cdot\vec{w}=1$. Calcule
    - $\vec{u}\cdot\vec{v}$,
    - $\vec{u}\cdot\vec{w}$,
    - $||\vec{u}-2\vec{v}||^2$,
    - $||\vec{u}-2\vec{w}||^2$,
    - $||\vec{u}-\vec{v}||^2$,
    - $||\vec{u}-\vec{w}||^2.$
    Solução

  42. Considere as retas $r_1$, $r_2$ de equações r1:{x=1+λy=1+λz=1+2λλRr2:x12=y1=z Ache um ponto $Q_1\in r_1$ e um vetor $\vec{v}_1\parallel r_1$ e um ponto $Q_2\in r_2$ e um vetor $\vec{v}_2\parallel r_2$. Prove que elas são reversas de três formas diferentes
    1- Mostrando que $r_1\cap r_2=\emptyset$.
    2- Mostrando $\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}$ é linearmente independente e que $d(r_1,r_2)>0$.
    3- Mostrando que $\{\overrightarrow{Q_1Q_2},\vec{v}_1,\vec{v}_2\}$ é linearmente independente.
    Solução

  43. Considere um paralelogramo $\widehat{ABDC}$ de com vertices em $A=(0,1,-1),~B=(0,0,1),~D=(2,-1,1)$. Determine
    a) o plano $\pi$ que contém $A,~B,~D$,
    b) o ponto $C$, e verifique que $C\in \pi$,
    c) a área do triângulo $\widehat{ABC}$ utilizando produto vetorial,
    d) a área do triângulo $\widehat{ABC}$ utilizando a fórmula $A=\frac{ (base)\cdot (altura) }{2}$ onde a base é dada pelo segmento $\overline{AC}$.
    Solução

  44. Considere as retas r:{x=6αy=614ααR,z=8+8α s:{x=278βy=8114ββR.z=6104β Determine se são reversas, paralelas ou concorrentes e o ângulo entre elas. Caso sejam reversas ou paralelas ache a distância entre elas.
    Solução

  45. Achar a interseção dos planos π1: 7xyz=5, π2: x+y7z=5.
    Solução

  46. Considere o plano π:3x+2y+2z=0 e o ponto $A=(3,6,-2)$. Ache a equação simétrica da reta $r$ paralela ao plano e que passa pelo ponto $B$, simétrico a $A$ em relação ao plano $\pi,$ e é perpendicular ao vetor $\vec{v}=(-6,13,-4).$
    Solução

  47. Considere as retas r1:{x2y+z=1x+y2z=0r2: x12=1z2y=0; Determine:
    a) se são iguais, paralelas, concorrentes ou reversas,
    b) a distância entre elas,
    c) o ângulo entre elas.
    Solução

  48. As retas $r$ e $s$ são dadas por r:={x=1ty=2+3tz=ttR,s:={x=2y=2+pz=ppR
    a) Encontrar a distância entre as retas $r$ e $s$ e mostrar que as duas retas são reversas.
    b) Encontrar as equações dos planos paralelos $\pi_1$ e $\pi_2$, tais que $r$ está contida em $\pi_1$ e $s$ está contida em $\pi_2$.
    c) Encontrar o ângulo entre as retas $r$ e $s$
    Solução

  49. As retas $r$ e $s$ são dadas por r:={x=1+2ty=3+tz=1ttR,s:={x+2=y21 e z=1}
    a) Encontrar a distância entre as retas $r$ e $s$ e mostrar que as duas retas são reversas.
    b) Encontrar a equação paramétrica da reta $l$, concorrente com ambas retas $r$ e $s$, e paralela ao vetor $\overrightarrow{V}=(0,3,1)$.
    Solução

  50. Achar a equação da reta $r_3$ que intersepta as retas r1: {x=1+2ty=1+ttRz=0 e r2: x2=y42ez=3 e é perpendicular a ambas. Solução

  51. Dados quatro vértices, $O=(0,0,0)$, $A = (-2,-1,1)$, $B = (1,1,1)$, e $C = (5,1,-1)$ de um paralelepípedo,
    a) Encontrar a equação do plano que contém os vértices $0$, $A$, e $B$.
    b) Encontrar a equação do plano que contém os vértices $C$, $D$, e $E$.
    c) Encontrar a equação da reta que passa pelos vértices $C$ e $D$.
    d) Encontrar as coordenadas dos pontos $D$ e $E$.
    Solução

  52. Encontrar equações paramétricas assim como uma equação linear que descreva os planos $\pi_1$ e $\pi_2$ que contém a reta $r$ definida por r:={x=1+ty=1+tz=2ttR e tais que $(1,0,0) \in \pi_1$ e $(0,0,0)\in \pi_2$.
    b) Encontre o ângulo entre os dois planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
    Solução

  53. Dados o plano π:2x+2yz=6 e o ponto $P:(2,2,-4)$, encontre
    a) a distância de $P$ a $\pi$.
    b) a equação da reta que passa por $P$ e é ortogonal a $\pi$.
    c) o ponto $Q$ em $\pi$ de forma que a distância de $P$ a $Q$ seja igual a distândica de $P$ a $\pi$
    Solução

  54. As retas $r$ e $l$ são dadas por: r={x=0y=2t,tRz=1tl={x4=z1y=3.
    a) Mostrar que $r$ e $l$ são reversas.
    b) Encontrar os planos $\pi$ e $\alpha$ tais que: $r\subset \pi$, $l\subset \alpha$ e $\pi$ {\'e} paralelo a $\alpha$.
    c) Encontrar a distância entre os planos $\pi$ e $\alpha$ do item anterior.
    d) Encontrar os pontos $P$ em $r$ e $Q$ em $l$ tais que a reta que passa por $P$ e $Q$ seja perpendicular a $r$ e a $l$.
    Solução

  55. Encontrar a equação do plano $\pi$ que é perpendicular a cada um dos planos α:xy2z=0β:2x+y4z5=0 e contém o ponto $A=(4,0,-2)$.
    Solução


  56. a) Encontre equações paramétricas assim como uma equação linear que descrevam o plano contendo os pontos P1=(1,0,0),P2=(1,2,1)eP3=(0,1,2).
    b) Encontre a interseção do plano do item (a) com a reta determinada por x+2z=1,y=2.
    c) Determine o cosseno do ângulo formado pela reta e o plano dos itens anteriores.
    Solução

  57. Determine se os seguintes pontos do $\mathbb R^3$ são coplanares: P1=(1,0,1),P2=(2,1,3),P3=(1,1,1),P4=(2,2,3).
    Solução

  58. Considere a reta $r_1$ que passa por $Q=(0,0,1)$ e tem $\vec{v}=(1,2,-1)$ como vetor diretor, assim como a reta $r_2$ dada por x+13=y12=z.
    1) Encontre os pontos de $P_1\in r_1$ e $P_2\in r_2$ que satisfazem $d(P_1,P_2)=d(r_1,r_2)$.
    2) Encontre as projeções ortogonais da origem em $r_1$ e $r_2$. (A projeção ortogonal de um ponto $P$ em uma reta $r$ é a interseção de $r$ com a reta $S$ que contém $P$ e intersecta $r$ ortogonalmente.)
    3) Encontre equações lineares dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$ que contém $r_1$ e $r_2$, respectivamente, e satisfazem $d(\pi_1,\pi_2) = d(r_1,r_2)$.
    Solução

  59. Considere os planos π1:{(x,y,z), xy=2}, π2:{x=1+2α+βy=2+2αα,βR.z=1+2α+β e a reta r:{(x,y,z), x=y1=z}. Determine
    i- a reta $s:\pi_1\cap \pi_2$
    ii- $d(r,\pi_1)$
    iii- se existe um plano $\pi_3$ que contém as retas $r$ e $s$.
    Solução

  60. Considere o plano $\pi$ de equação π:{x=3+2α+2βy=αα,βRz=1+α+β, e o ponto $A=(3,0,4)$. Determine o ponto $B$ que é simétrico a $A$ em relação ao plano.
    Solução

  61. Determine o valor de $x$ para que os pontos A=(1,7,1)B=(4,7,4)C=(29,9+x,5)D=(2,9,3) sejam coplanares.
    Solução

  62. Considere a cônica de equação3x2+6x+y24y+4=0. Faça uma translação de coordenadas de forma tal que no novo sistema a equação da cônica acima esteja na forma canônica. Identifique a cônica e determine seus focos e vértices. Faça um esboço do gráfico.
    Solução

  63. Seja $\mathcal{C}$ o lugar geométrico dos pontos $P=(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem 2y23x24y+12x+8=0 a) Qual é o tipo de cônica $\mathcal{C}$? Encontrar novas coordenadas para escrever a equação de $\mathcal{C}$ na forma canônica.
    b) Encontrar os focos, os vértices e a excentricidade de $\mathcal{C}$ nas coordenadas $x$ e $y$. No caso de hipérbole, encontrar também as equações das assíntotas em $x$ e $y$.
    Fazer um esboço do gráfico da cônica $\mathcal{C}$.
    Solução

  64. Seja $\ell$ o lugar geométrico dos pontos $P=(x,y)$ no plano cujas coordenadas satisfazem a equação :9x216y254x+48y+81=0.
    a) Determinar que tipo de cônica é $\ell$. Escrever a equação canônica de $\ell$.
    b) Encontrar os focos, a excentricidade e os vértices de $\ell$. Se $\ell$ for hipérbole, encontrar as equações das assíntotas de $\ell$.
    Solução

  65. Considere a cônica de equação 2x2+3y2+4x12y+8=0 Determine
    a) se é elipse, hipêrbole ou parábola,
    b) focos, vértices e assíntotas (se houver) no sistema de coordenadas $S=\{O,~\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}\}$,
    c) exentricidade,
    d) um esboço do gráfico.
    Solução

  66. Considere a cônica de equaçao 3x22y2+2y+6x=5
    - Identifique a cônica.
    - Faça as mudanças de coordenadas necessárias para levar a equação da cônica a uma forma canônica.
    - Determine focos, vértices e assíntotas (se houver) no sistema de coordenadas $xy$
    Solução

  67. Considere a parábola de equação x2+y2+2xy+24x24y=144. Determine Foco, Vértice e reta diretriz. Faça um esboço da mesma contendo os dados achados.
    Solução

  68. Considere uma rotação de coordenadas de um sistema $S=\{O=(0,0),~\{\vec{e}_1=(1,0),\vec{e}_2=(0,1)\}\}$ para um sistema $S'=\{O'=(0,0),~\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}\}$ em que $\vec{u}_1=k(6,-8)$ para algúm $k>0$.
    - Quais são as coordenadas, no sistema $S'$, do ponto $P$ que no sistema $S$ tem coordenadas $P=(20,30)$.
    - Qual é a equação, no sitema $S'$, da reta $r$ que no sistema $S$ tem por equação $ r:~3x-2y=70$.
    Solução

  69. Determine, em cada caso, a rotação de coordenadas do sistema $xy$ a um novo sistema de coordenadas $x'y'$ segundo corresponda. \begin{itemize}
    - O ponto $P$, que no sistema $xy$ tem coordenadas $P=(3,4)$, no novo sistema de coordenadas $P$ esteja na parte negativa do eixo $y'$.
    - O ponto $Q$, que no sistema $xy$ tem coordenadas $Q=(2,1)$, no novo sistema de coordenadas $Q$ esteja na parte positiva do eixo $x'$.
    Solução

  70. Considere a cônica de equação 26x2+6y2+24xy+360x120y=900. Determine os focos e vértices. Com essa informação faça um esboço da cônica.
    Solução

  71. Utilize a rotação dos eixos para achar a equação canônica da cônica de equação x2+Bxy+y2=1. Encontre a sua exentricidade.
    Solução

  72. Considere a cônica de equação 26x2+24xy+6y2+1810x610y=180
    - Identifique a c\^onica.
    - Faça as mudanças de coordenadas necessárias para levar a equação da cônica a uma forma canônica.
    - Determine focos, vértices e assíntotas (se houver) no sistema de coordenadas $xy$
    Solução

  73. Seja $\mathcal{C}$ o lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem 5x22xy+5y2162x+82y+4=0 Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam $\mathcal{C}$ à forma canônica e identificar a cônica $\mathcal{C}$.
    Solução

  74. Considere a cônica de equação (x+1)y=12. Determine
    a) se é elipse, hipérbole ou parábola,
    b) focos, vértices e assíntotas (se houver) no sistema de coordenadas $\widehat{xy}$,
    c) exentricidade,
    d) uma parametrização da curva.
    Solução

  75. Seja $\ell$ o lugar geométrico dos pontos $P=(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem 4x24xy+7y2+12x+6y9=0.
    a) Identificar a cônica $\ell$.
    b) Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam $\ell$ à forma canônica.
    c) Encontrar a excentricidade de $\ell$. Encontrar também as coordenadas dos focos, dos vértices e as equações das assíntotas (se aplicável) no sistema $Oxy$ .
    Solução

  76. Seja $\mathcal{C}$ a curva do plano constituída dos pontos que satisfazem a equação 3x2+3y2+2xy+42x42y=4.
    (a) Encontre a forma canônica (ou reduzida) de $\mathcal{C}$.
    (b) Encontre as coordenadas do(s) foco(s) da curva $\mathcal{C}$ em relação ao sistema de eixos $XY$.
    (c) Esboce o desenho da curva $\mathcal{C}$ no sistema de eixos $XY$.
    Solução

  77. Seja $\mathcal{C}$ o lugar geométrico dos pontos $P(x,y)$ do plano cujas coordenadas $x$ e $y$ satisfazem 4x24xy+7y2+12x+6y9=0 a) Encontrar as mudanças consecutivas das coordenadas que levam $\mathcal{C}$ à forma canônica e identificar a cônica $\mathcal{C}$.
    b) Determine excentricidade, vértices, focos e assíntotas (se houver)
    Solução

  78. Ache vértices e focos da cônica de coordenadas polares 9r+1458081rsin(θ)=0.
    Solução

  79. Considere a cônica de equação dada em coordenadas polares por r2rsin(θ)=2. Ache os vértices e focos em coordenadas polares e cartesianas de duas formas diferentes:
    a- Estudando a equação em coordenadas polares.
    b- Transformando as equações a coordenadas cartesianas e estudando a cônica por meio de uma rotação e traslação.
    Solução

  80. Considere a cônica de equação dada em coordenadas polares por 2r+3rcos(θ)+rsin(θ)=1. Ache os vértices e focos em coordenadas polares e cartesianas de duas formas diferentes:
    a- Estudando a equação em coordenadas polares.
    b- Transformando as equações a coordenadas cartesianas e estudando a cônica por meio de uma rotação e traslação.
    Solução

  81. Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares é dada por r=12+sin(θ). Determine
    i) tipo de cônica
    ii) a equação da cônica em coordenadas cartesianas.
    Solução


  82. (a) Encontre as coordenadas polares $(r,\theta)$ do ponto $(1,1)$.
    (b) Determine as coordenadas cartesianas de todos os pontos que estão sobre uma reta paralela ao eixo polar a $\theta=\pi$ unidades dele.
    (c) Reescreva a equação $2xy =25$ em coordenadas polares.
    (d) Reescreva a equação $r = 3 \cos(\theta)$ em coordenadas cartesianas.
    Solução

  83. a) Determine a superfície cônica, com vértice na origem, obtida a partir da curva definida por x2+y23=1 e z=2. b) Encontre uma parametrização dela.
    Solução

  84. Mostre que 9x2+y2+2z2+2xy8xz1=0 determina a equação de uma superfície cilíndrica e determine uma equação da curva diretriz e um vetor paralelo com a reta geratriz.
    Solução

  85. Considere a superfície de revolução $S$ obtida de rotacionar a curva :z=y2, no plano $yz$ ao redor do eixo $z.$ Determinar
    i- a equação da superfície $S$ em coordenadas cartesianas.
    ii- a equação da superfície $S$ em coordenadas cilíndricas.
    iii- a equação da superfície $S$ em coordenadas esféricas.
    Solução

  86. Encontrar a equação da superfície cilíndrica determinada pelo vetor $\vec{v}=(1,-1,2)$ e a curva diretriz C:{z2+4yzy2+3y5=0x=0. Solução


  87. (a) Determine a equação da superfície cilíndrica com curva diretriz C={x2y2=1z=0 e vetor paralelo as retas geratrizes $W=(0,2,-1)$.
    (b) Dada a equação da curva diretriz C={yx2=0z=2 determine a equação da superfície cônica que tem vértice na origem $O=(0,0,0)$
    (c) Mostre que a equação $x^2+y^2-z^3=0$ representa uma superfície de revolução e ache uma parametrização dela.
    Solução

  88. Encontrar a equação (em coordenadas cartesianas) da superfície cilíndrica $S$ com curva diretriz C:x2+4y=0 no plano $z=0$ e retas geratrizes paralelas ao vetor v=(2,4,6).
    Solução

  89. Seja $S$ o conjunto dos pontos $P=(x,y,z)$ no espaço cujas coordenadas cartesianas $x$, $y$, $z$ satisfazem a equação x2+y2+z2=9z.
    a) Determinar que tipo de superfície é $S$.
    b) Escrever a equação de $S$ em coordenadas esféricas, escolhendo adequadamente o polo e os eixos.
    Solução

  90. Seja $\mathcal{S}$ o conjunto dos pontos no espaço cujas coordenadas cartesianas $x,y,z$ satisfazem a equação 3y2z2+6y6x+15=0 a) Determinar que tipo de superfície quádrica é dada por $\mathcal{S}$, encontrando a mudança de coordenadas que levam a equação canônica.
    b) Determinar que tipo de cônica obtemos intersecando $\mathcal{S}$ com o plano $x=3$.
    c) Escrever a equação de $\mathcal{S}$ em coordenadas esféricas.
    Solução

  91. Seja $S$ a superfície com equação (em coordenadas cartesianas) S:x2a2+y2b2z2c2=1. Determinar equações paramétricas para a superfície $S$.
    Solução


  92. Solução