Cálculo I

Exercícios

1. Resolva as seguintes desigualdades
   a) $|x-1|\leq |x+1|.$
   b) $|x|-|x-1|< x$
   c) $| x-1| + | x-2| \leq 3.$
   Solução

2. Resolva a desigualdade $|x^2-9|\leq |2x-6|$. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.
   Solução

3. Calcule
   a) $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x^3+2x-1)^{1/3}}{\sqrt{x^2+x+1}}$
   b) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}$
   c) $\lim_{x\rightarrow 0^+}\sqrt{x}e^{\sin(\pi/x)}$
   d) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2^x-\cos(x)}{\sin(x)}$
   Solução

4. a) Calcule $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3+3x-1}{2x^3-6x+1}$$
   b) Mostre que existe $r>0$ tal que $$x>r\Rightarrow \frac{1}{4}<\frac{x^3+3x-1}{2x^3-6x+1}<\frac{3}{4}.$$ Solução

5. Determine $\alpha\in\mathbb{R}$ e $\beta\in\mathbb{N}$ tais que $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2x^{\beta }-3x+1}{x^3+1}-\alpha x^2)=0$$ Solução

6. Calcule
   a) $\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{x}\cos(x)$
   b) $\lim_{x\rightarrow +\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3})$
   c) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}$
   Solução

7. Mostre, por definição que, $\lim_{x\rightarrow p}f(x)=L$ garante $\lim_{x\rightarrow p}|f(x)|=|L|.$ É verdade que $\lim_{x\rightarrow p}|f(x)|=|L|$ garante $\lim_{x\rightarrow p}f(x)=L?.$ Justifique.
   Solução

8. Seja $a>0$ e $a\neq 1$. Utilizando que $$\underset{y\to 0}{lim}\frac{e^y-1}{y}=1$$ mostre que $$\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}=\ln (a).$$ Solução

9. Sem utilizar a regra de L'Hospital calcule os seguintes limites
   i- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{x}\textrm{sen}\left(\frac{1}{x}\right),$
   ii- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{\frac{12x^3-5x+2}{1+4x^2+x^3}},$
   iii- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2+x}\right).$
   Solução

10. Sem utilizar a regra de L'Hospital calcule os seguintes limites
    i- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}(x-1)^2e^{\frac{1}{x-1}}$,
    ii- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$,
    iii- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-4x}{x^2-3x-4}$.
    Solução

11. Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista sem usar a regra de L'Hospital. Justifique suas respostas.
    a) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow3^{-}}\left(\frac{2x+1}{x-3}\right) $
    b) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}x^{4}\cos\left( \frac{1}{x^{3}}\right) $
    c) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$
    d) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{3}-x+2}{4x^{3}-2x+10}$
    Solução

12. Sem utilizar a regra de L'Hospital calcule os seguintes limites
    i-$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^{x^3}\text{cos}\left(\frac{1}{x}\right),$$
    ii- $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{\frac{8x^3-5x+2}{1+4x^2+2x^3}},$$
    iii- $$\underset{x\to 0}{lim}(\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2x^2+5x^4}).$$
    Solução

13. Determine, se existirem, assíntotas horizontais e verticais da função $$f(x)=\frac{x^2+x-6}{x^2-4}.$$ No caso de existirem assíntotas verticais, determine o comportamento da função a esquerda e direita da mesma. Justifique analíticamente a sua resposta.
    Solução

14. Seja $f:[-15/2,\infty)\backslash\{-3\}\rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x)=\frac{x+\sqrt{2x+15}}{x+3},$$
    a) Podemos definir uma função $\tilde f:[-15/2)\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\tilde f(x)=f(x)$ para todo $x\neq -3$ e tal que $\tilde f$ seja contínua? Se sim, determine $\tilde f.$
    b) $f$ possui assíntotas horizontais?
    c) $f$ possui assíntotas verticais?
    Solução

15. Determine o valor de $c$ para que a função $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x)=\{\begin{array}{ccc}{e}^x(x+c)& \text{se}& x\le 0\\ & & \\ \frac{1}{(x+c{)}^2}& \text{se}& x>0\end{array},$$ seja contínua.
    Solução

16. Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ dada por $$f(x)=\{\begin{array}{lll}\frac{2-7x}{x-2},& \text{ se}& x\ge 1\\ & & \\ 6x-1,& \text{ se}& x<1.\end{array}$$
    a) A função $f$ é contínua em $x=1$? Justifique sua resposta.
    b) Encontre a assíntota horizontal de $f$ quando $x\rightarrow+\infty.$
    c) Existe assíntota vertical em algum ponto?
    Solução

17. Sejam $a$ e $b$ números reais e defina $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ por $$f(x)=\{\begin{array}{lc}{x}^2+a(x+1),& x\le -1\\ 1+2\cos (\pi x)& -1<x<1\\ x+\frac{e^x}{bx}& x\ge 1\end{array}$$
    a) Existe $a$ de forma que $f$ seja cont\'inua em $x=-1?$ Se sim, determine-o.
    b) Existe $b$ de forma que $f$ seja cont\'inua em $x=1?$ Se sim, determine-o.
    Solução

18. Mostre que existe ao menos uma raíz de $$p(x)=\tan (x)+x+1,$$ no intervalo $(-\pi/2,\pi/2).$
    Solução

19. Mostre que $$\text{tg}(x)+1=16x^2$$ tem uma solução no intervalo $(0,\pi/4)$.
    Solução

20. Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manha e segue sua caminhada usual ate o topo da montanha, chegando lá as 7 horas da noite. Na manhã seguinte ele parte do topo as 7 horas da manhã e, andando pelo mesmo caminho, chega no monastério as 7 horas da noite. Mostre que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas caminhadas.
    Solução

21. Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação $$\sin (x)=2x-1$$ tem uma solução no intervalo $(0,\frac{\pi}{2}).$
    Solução

22. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se for vedadeira prove e se for falsa dê um contraexemplo.
    a) Existe $x_0\in\mathbb{R}$ tal que $e^{-x_0}=x_0-1$.
    b) Se $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ é uma função contínua e injetora, satisfazendo $f(a)< f(b)$. Então $f$ é estritamente crescente neste intervalo.
    c) Dado $c\in (a,b)$ e $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)$ para todo $c\in (a,b)$. Então $f$ \'e contínua em $(a,b).$
    d) Seja $f,g:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ funções tais que $g(x)< f(x)$. Então $\lim_{x\rightarrow c^{\pm}}g(x)<\lim_{x\rightarrow c^{\pm}}f(x)$ para todo $c\in [a,b].$
    Solução

23. Mostre que $$\text{tg}\left(\frac{x}{3}\right)={\pi }^2+\frac{x^4}{20}$$ tem uma solução no intervalo $(0,3\pi)$.
    Solução

24. Utilize a derivação implícita para achar a equação da reta tangente a curva $$x^2+xy+y^2=3$$ no ponto $(1,1)$.
    Solução

25. Mostre que para todo $x>0$ temos $$\cos (x)>1-\frac{x^2}{2}$$
    Solução

26. Para a função $f(x)=xe^x$ encontre máximos e mínimos locais e absolutos, assíntotas que existirem, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
    Solução

27. Dada a função $f(x)=e^{-x^2}$. Determine:
    a) Assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existir.
    b) Máximos e mínimos locais e absolutos.
    c) Intervalos de crescimento e decrescimento.
    d) Pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
    e) Gráfico da função.
    Solução

28. Encontre o limites
    a) $${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}(\frac{1}{\ln (x)}-\frac{1}{x-1}).}$$
    b) $${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}(\mathrm{tg}(2x){)}^x.}$$
    Solução

29. Dois corredores iniciaram uma corrida no mesmo instante e terminaram empatados. Prove que em algum instante durante a corrida eles têm a mesma velocidade.
    Solução

30. Determine todos os valores de $a$ para que a equação $$x^3+3x^2-9x+a=0,$$ tenha uma única solução real.
    Solução

31. Achar a equação da reta tangente à curva descrita por $$x^{2/3}+y^{2/3}=4,$$ no ponto $(3\sqrt{3},1)$.
    Solução

32. Um holofote sobre o chão ilumina uma parede 12m distante dele. Se um homem de 2m de altura anda do holofote em direção a parede a uma velocidade de 1,6m/s, quão rápido decresce sua sombra sobre a parede quando ele está a 4m dela?
    Solução

33. Mostre que: $$|\sin (x)-x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{120}|\le \frac{x^6}{6!}.$$
    Solução

34. Calcule a derivada das seguintes funções
    a) $f(x)=\ln\left(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\right)$
    b) $h(x)=[\cos(x)]^{x^2}$
    c) $g(x)=\left(\frac{e^{-x}\cos(2x)}{1+e^{x}}\right)^2$
    d) $h(x)=x^{\ln(x)}$
    e) $g(x)=\frac{\cos(x)\sqrt{1+2x}}{1+x^2}$
    f) $h(x)=x^{e^x}$
    Solução

35. Calcule a derivada das seguintes funções
    a) $$f(x)=e^{\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}}\right)}$$
    b) $$h(x)=(x+1)\sin \left(\frac{\pi x^2}{2}\right)$$
    Solução

36. Calcule os seguintes limites
    a) $\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln(x)}-\frac{1}{x-1}\right)$
    b) $\lim_{x\rightarrow 0}\left(\cos(3x)\right)^{\left(\frac{5}{x}\right)}$
    c) $\lim_{x\rightarrow 0^+}\textrm{sen}(x)\ln(x)$
    d) $\lim_{x\rightarrow 0^+}(\cos(x))^{\left(\frac{1}{x^2}\right)}$
    e) $\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{e^{3x}-1}{x}\right)$
    f) $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+x^2\right)^{\left(\frac{1}{\ln(x)}\right)}$
    Solução

37. Calcule os seguintes limites
    a) $$\underset{x\to 1^{+}}{lim}({\displaystyle \frac{1}{\ln (x^2)}}-{\displaystyle \frac{1}{2x-2}})$$
    b) $$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{[1+\sin (x)]}^{\left(1/x\right)}$$
    Solução

38. Ache a equação da reta tangente a curva no ponto dado:
    a) $$y\cos (\pi x^2)=x\cos (\pi y^2),$$no ponto $(1,1)$.
    b) $$y+2x=\cos (\pi x{y}^2),$$ no ponto $(-1,1)$
    c) $$\sqrt{x{y}^3}=1+2x^{2}y,$$ no ponto $(1/2,2)$.
    Solução

39. Determine a equação da reta tangente à curva $$y\ln |2x|=x\ln |x+y|$$ no ponto $(1,1)$.
    Solução

40. Seja $$f(x)=\frac{\ln (x)}{x}.$$ Determine:
    a) Domínio
    b) Assínotas Horizontais
    c) Assíntotas Verticais
    d) Pontos de máximo: e mínimo
    e) Intervalos de crescimento e decrescimento.
    f) Concavidade
    g) Pontos de inflexão
    Solução

41. Seja $$f(x)=e^{-x^2}.$$ Determine:
    a) Domínio
    b) Assínotas Horizontais
    c) Assíntotas Verticais
    d) Pontos de máximo: e mínimo
    e) Intervalos de crescimento e decrescimento.
    f) Concavidade
    g) Pontos de inflexão
    Solução

42. Seja $$f(x)=\frac{1}{x^2-1}.$$ Determine:
    a) Domínio
    b) Assínotas Horizontais
    c) Assíntotas Verticais
    d) Pontos de máximo: e mínimo
    e) Intervalos de crescimento e decrescimento.
    f) Concavidade
    g) Pontos de inflexão
    Solução

43. Seja $$f(x)=\frac{e^x}{9x}.$$ Determine Domínio, assíntotas, pontos de máximo e mínimo, intervalos de rescimento, concavidade e pontos de inflexão. Faça um esboço do gráfico de $f$. Justifique.
    Solução

44. Determine o retângulo de área máxima, e lados paralelos aos eixos coordenados inscritos na elipse de equação $$4x^2+y^2=1.$$
    Solução

45. Mostre que de todos os retângulos de área fixa $A.$ aquele que tem o menor perímetro é um quadrado.
    Solução

46. Encontre o ponto sobre a reta de equação $$y=4x+17,$$ que está mais próximo da origem.
    Solução

47. Determine $a$ e $b$ de forma tal que a área sombreada da figura abaixo seja máxima.
                  
    Solução

48. Assuma que $f$ seja uma função contínua, mostre que $$|{\int }_0^{2\pi }f(x)\sin (2x)dx|\le {\int }_0^{2\pi }|f(x)|dx.$$
    Solução

49. Mostre que para $n\in\mathbb{N}$, $$\int (\ln (x){)}^{n}dx=x(\ln (x){)}^n-n\int (\ln (x){)}^{n-1}dx.$$
    Solução

50. Ache o intervalo em que a curva $$y={\int }_0^x\frac{1}{1+t+t^2}dt$$ é côncava para cima.
    Solução

51. Determine se $x=1$ é ponto crítico de $$f(x)={\int }_0^{\sqrt{2+\ln (x)}}{e}^{t^2}(t^2-2)dt.$$
    Solução

52. Dada $$f(x)={\int }_0^{\text{tg}(x)}\frac{e^{\text{arctg}(y)}}{y^2+1}dy,$$ determine $f''(x).$
    Solução

53. Calcule as seguintes integrais
    a) $$\int \frac{x+4}{x^2+2x+5}dx$$
    b)$${\int }_0^{1}x\sqrt{x^2+4}dx$$
    c) $$\int \cos (\ln (x))dx$$
    Solução

54. Calcule
    a) $$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}.$$
    b) $$\int \frac{x-9}{(x+5)(x-2)}dx.$$
    Solução

55. Calcule as seguintes integrais
    i) $\displaystyle\int x^2\textrm{sen}(2x)~dx$
    ii) $\displaystyle\int x\sqrt{1-x^4}~dx$
    iii) $\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2-2x}~dx$
    iv) $\displaystyle\int x^2e^{-x}~dx$
    v) $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+2}}$
    vi) $\displaystyle\int\frac{x-9}{x^2+3x-10}~dx$
    Solução

56. Calcule as seguintes integrais
    i) ${\displaystyle {\int}x^{\frac{1}{2}}\ln(x)dx}$
    ii) $\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx$
    iii) ${\displaystyle \int \textrm{sen}^{6}(x)\cos^{3}(x)dx}$
    iv) $\displaystyle \int{\frac{3x-2}{x^{3}-5x^{2}+4x}dx}$
    Solução

57. Calcule as seguintes primitivas
    i- $$\int x\cos (3x)dx$$
    ii- $$\int {\displaystyle \frac{x+1}{x^2+3x}}dx$$
    Solução

58. Calcule as seguintes integrais definidas
    i- $${\int }_0^{1/2}\frac{\cos (\pi x)}{1+{\sin }^2(\pi x)}dx$$
    ii- $${\int }_2^{2\sqrt{3}}\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+4}}dx$$
    Solução

59. Determine a área da região delimitada em cada caso
    a) $y=\sqrt{2}\textrm{sen}(x)$, $y=\textrm{sen}(2x)$, para $0\leq x\leq \pi$.
    b) $ y=\cos(x),$ $y=\textrm{sen}(x),$ $x=0,$ e $x=\pi/2.$
    c) $y=|x|$, $y=x^2.$
    Solução

60. Determine a área da região delimitada por $$y=2\cos (x),y=\sin (2x),x=-\pi \text{e}x=\pi .$$
    Solução

61. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo $\hat{x}$ da área finita delimitada pelo gráfico da curva $y=8-x^3$ no primeiro quadrante.
    Solução

62. Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do gráfico da função $f(x)=1/x$ no intervalo $[1,2]$ ao redor do eixo $\hat{x}.$
    Solução

63. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo $x$ do gráfico de $\ln(x)$, com $1 \leq x \leq e$.
    Solução

64. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo $\hat{y}$ da área finita delimitada pelo gráfico da curva $$y=8-x^3$$ no primeiro quadrante.
    Solução

65. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo $\hat{y}$ da área finita delimitada pelas curvas $$y=x^{2}ey=\sqrt{x}.$$
    Solução

66. Considere a região $R$ limitada pelas curvas $$y=3x+2ey=x^3,$$ no intervalo $[0,2].$ Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de $R$ em torno do eixo $x$.
    Solução

67. Calcule os valores de $C\in\mathbb{N}$ para que a integral a seguir seja convergente. Calcule a integral $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{4}{x+3}-\frac{C}{x+2})dx$$
    Solução

68. Avalie a convergência das integrais impróprias
    a) $${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln x}{x^2}dx.$$
    b) $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x{\cos }^2(x)}{(x^2+1{)}^2}dx$$
    c) $${\int }_0^2\frac{dx}{(x-1{)}^{4/3}}.$$
    Solução

69. Calcule a integral imprópria $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x{e}^{-x}dx.$$
    Solução

70. 
    Solução