Cálculo I

Exercícios

Resolva as seguintes desigualdades
a) $|x-1|\leq |x+1|.$
b) $|x|-|x-1|< x$
c) $| x-1| + | x-2| \leq 3.$
Solução
Resolva a desigualdade $|x^2-9|\leq |2x-6|$. Dê o intervalo solução e ilustre a solução sobre a reta real.
Solução
Calcule
a) $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x^3+2x-1)^{1/3}}{\sqrt{x^2+x+1}}$
b) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}$
c) $\lim_{x\rightarrow 0^+}\sqrt{x}e^{\sin(\pi/x)}$
d) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2^x-\cos(x)}{\sin(x)}$
Solução
a) Calcule \[\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^3+3x-1}{2x^3-6x+1}\]
b) Mostre que existe $r>0$ tal que \[ x>r~\Rightarrow~\frac{1}{4}<\frac{x^3+3x-1}{2x^3-6x+1}<\frac{3}{4}. \] Solução
Determine $\alpha\in\mathbb{R}$ e $\beta\in\mathbb{N}$ tais que \[ \lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{2x^\beta-3x+1}{x^3+1}-\alpha x^2\right)=0 \] Solução
Calcule
a) $\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{x}\cos(x)$
b) $\lim_{x\rightarrow +\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3})$
c) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}$
Solução
Mostre, por definição que, $\lim_{x\rightarrow p}f(x)=L$ garante $\lim_{x\rightarrow p}|f(x)|=|L|.$ É verdade que $\lim_{x\rightarrow p}|f(x)|=|L|$ garante $\lim_{x\rightarrow p}f(x)=L?.$ Justifique.
Solução
Seja $a>0$ e $a\neq 1$. Utilizando que \[ \lim_{y\rightarrow 0}\frac{e^y-1}{y}=1\] mostre que \[\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^h-1}{h}=\ln(a).\] Solução
Sem utilizar a regra de L'Hospital calcule os seguintes limites
i- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{x}\textrm{sen}\left(\frac{1}{x}\right),$
ii- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{\frac{12x^3-5x+2}{1+4x^2+x^3}},$
iii- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2+x}\right).$
Solução
Sem utilizar a regra de L'Hospital calcule os seguintes limites
i- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{-}}(x-1)^2e^{\frac{1}{x-1}}$,
ii- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$,
iii- $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-4x}{x^2-3x-4}$.
Solução
Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista sem usar a regra de L'Hospital. Justifique suas respostas.
a) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow3^{-}}\left(\frac{2x+1}{x-3}\right) $
b) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}x^{4}\cos\left( \frac{1}{x^{3}}\right) $
c) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}$
d) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{3}-x+2}{4x^{3}-2x+10}$
Solução
Sem utilizar a regra de L'Hospital calcule os seguintes limites
i-\[\lim_{x\rightarrow -\infty}e^{x^3}\textrm{cos}\left(\frac{1}{x}\right),\]
ii- \[\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{\frac{8x^3-5x+2}{1+4x^2+2x^3}},\]
iii- \[\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2x^2+5x^4}\right).\]
Solução
Determine, se existirem, assíntotas horizontais e verticais da função \[ f(x)=\frac{x^2+x-6}{x^2-4}. \] No caso de existirem assíntotas verticais, determine o comportamento da função a esquerda e direita da mesma. Justifique analíticamente a sua resposta.
Solução
Seja $f:[-15/2,\infty)\backslash\{-3\}\rightarrow \mathbb{R}$ definida por \[ f(x)=\frac{x+\sqrt{2x+15}}{x+3},\]
a) Podemos definir uma função $\tilde f:[-15/2)\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\tilde f(x)=f(x)$ para todo $x\neq -3$ e tal que $\tilde f$ seja contínua? Se sim, determine $\tilde f.$
b) $f$ possui assíntotas horizontais?
c) $f$ possui assíntotas verticais?
Solução
Determine o valor de $c$ para que a função $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definida por \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} e^x(x+c)&\textrm{se}&x\leq 0\\ & & \\ \frac{1}{(x+c)^2}&\textrm{se}&x> 0 \end{array} \right., \] seja contínua.
Solução
Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ dada por \[ f(x)=\left\{ \begin{array} [c]{lll}\frac{2-7x}{x-2} \, , & \textrm{ se} & x\geq1\\& & \\6x-1 \, ,& \textrm{ se} & x<1. \end{array} \right. \]
a) A função $f$ é contínua em $x=1$? Justifique sua resposta.
b) Encontre a assíntota horizontal de $f$ quando $x\rightarrow+\infty.$
c) Existe assíntota vertical em algum ponto?
Solução
Sejam $a$ e $b$ números reais e defina $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ por \[f(x)=\left\{\begin{array}{lc} x^2+a(x+1),&x\leq -1 \\ 1+2\cos(\pi x)&-1 < x<1 \\ x+\frac{e^x}{bx}&x\geq 1 \end{array} \right. \]
a) Existe $a$ de forma que $f$ seja cont\'inua em $x=-1?$ Se sim, determine-o.
b) Existe $b$ de forma que $f$ seja cont\'inua em $x=1?$ Se sim, determine-o.
Solução
Mostre que existe ao menos uma raíz de \[p(x)=\tan(x)+x+1,\] no intervalo $(-\pi/2,\pi/2).$
Solução
Mostre que \[\textrm{tg}(x)+1=16x^2\] tem uma solução no intervalo $(0,\pi/4)$.
Solução
Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manha e segue sua caminhada usual ate o topo da montanha, chegando lá as 7 horas da noite. Na manhã seguinte ele parte do topo as 7 horas da manhã e, andando pelo mesmo caminho, chega no monastério as 7 horas da noite. Mostre que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas caminhadas.
Solução
Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação \[\sin(x)=2x-1\] tem uma solução no intervalo $(0,\frac{\pi}{2}).$
Solução
Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se for vedadeira prove e se for falsa dê um contraexemplo.
a) Existe $x_0\in\mathbb{R}$ tal que $e^{-x_0}=x_0-1$.
b) Se $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ é uma função contínua e injetora, satisfazendo $f(a)< f(b)$. Então $f$ é estritamente crescente neste intervalo.
c) Dado $c\in (a,b)$ e $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)$ para todo $c\in (a,b)$. Então $f$ \'e contínua em $(a,b).$
d) Seja $f,g:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ funções tais que $g(x)< f(x)$. Então $\lim_{x\rightarrow c^{\pm}}g(x)<\lim_{x\rightarrow c^{\pm}}f(x)$ para todo $c\in [a,b].$
Solução
Mostre que \[\textrm{tg}\left(\frac{x}{3}\right)=\pi^2+\frac{x^4}{20}\] tem uma solução no intervalo $(0,3\pi)$.
Solução
Utilize a derivação implícita para achar a equação da reta tangente a curva \[x^2+xy+y^2=3\] no ponto $(1,1)$.
Solução
Mostre que para todo $x>0$ temos \[\cos(x)>1-\frac{x^2}{2}\]
Solução
Para a função $f(x)=xe^x$ encontre máximos e mínimos locais e absolutos, assíntotas que existirem, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
Solução
Dada a função $f(x)=e^{-x^2}$. Determine:
a) Assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existir.
b) Máximos e mínimos locais e absolutos.
c) Intervalos de crescimento e decrescimento.
d) Pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
e) Gráfico da função.
Solução
Encontre o limites
a) \[\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln(x)}-\frac{1}{x-1}\right).\]
b) \[\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}(\mathrm{tg}(2x))^x.\]
Solução
Dois corredores iniciaram uma corrida no mesmo instante e terminaram empatados. Prove que em algum instante durante a corrida eles têm a mesma velocidade.
Solução
Determine todos os valores de $a$ para que a equação \[x^3+3x^2-9x+a=0,\] tenha uma única solução real.
Solução
Achar a equação da reta tangente à curva descrita por \[x^{2/3}+y^{2/3}=4,\] no ponto $(3\sqrt{3},1)$.
Solução
Um holofote sobre o chão ilumina uma parede 12m distante dele. Se um homem de 2m de altura anda do holofote em direção a parede a uma velocidade de 1,6m/s, quão rápido decresce sua sombra sobre a parede quando ele está a 4m dela?
Solução
Mostre que: \[ \left|\sin(x)-x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{120}\right|\leq \frac{x^6}{6!}.\]
Solução
Calcule a derivada das seguintes funções
a) $f(x)=\ln\left(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\right)$
b) $h(x)=[\cos(x)]^{x^2}$
c) $g(x)=\left(\frac{e^{-x}\cos(2x)}{1+e^{x}}\right)^2$
d) $h(x)=x^{\ln(x)}$
e) $g(x)=\frac{\cos(x)\sqrt{1+2x}}{1+x^2}$
f) $h(x)=x^{e^x}$
Solução
Calcule a derivada das seguintes funções
a) \[ f(x)=e^{\left(\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}\right)}\]
b) \[h(x)=(x+1)\sin\left(\frac{\pi x^2}{2}\right)\]
Solução
Calcule os seguintes limites
a) $\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln(x)}-\frac{1}{x-1}\right)$
b) $\lim_{x\rightarrow 0}\left(\cos(3x)\right)^{\left(\frac{5}{x}\right)}$
c) $\lim_{x\rightarrow 0^+}\textrm{sen}(x)\ln(x)$
d) $\lim_{x\rightarrow 0^+}(\cos(x))^{\left(\frac{1}{x^2}\right)}$
e) $\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{e^{3x}-1}{x}\right)$
f) $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+x^2\right)^{\left(\frac{1}{\ln(x)}\right)}$
Solução
Calcule os seguintes limites
a) \[\lim_{x\rightarrow 1^+}\left(\dfrac{1}{\ln(x^2)}-\dfrac{1}{2x-2}\right)\]
b) \[\lim_{x\rightarrow 0^+}\left[1+\sin(x)\right]^{\left(1/x\right)}\]
Solução
Ache a equação da reta tangente a curva no ponto dado:
a) \[ y\cos(\pi x^2)=x\cos(\pi y^2),\]no ponto $(1,1)$.
b) \[ y+2x=\cos(\pi x y^2),\] no ponto $(-1,1)$
c) \[ \sqrt{xy^3}=1+2x^2y,\] no ponto $(1/2,2)$.
Solução
Determine a equação da reta tangente à curva \[y\,\ln |2x| = x\,\ln |x+y|\] no ponto $(1,1)$.
Solução
Seja \[f(x)=\frac{\ln(x)}{x}.\] Determine:
a) Domínio
b) Assínotas Horizontais
c) Assíntotas Verticais
d) Pontos de máximo: e mínimo
e) Intervalos de crescimento e decrescimento.
f) Concavidade
g) Pontos de inflexão
Solução
Seja \[f(x)=e^{-x^2}.\] Determine:
a) Domínio
b) Assínotas Horizontais
c) Assíntotas Verticais
d) Pontos de máximo: e mínimo
e) Intervalos de crescimento e decrescimento.
f) Concavidade
g) Pontos de inflexão
Solução
Seja \[f(x)=\frac{1}{x^2-1}.\] Determine:
a) Domínio
b) Assínotas Horizontais
c) Assíntotas Verticais
d) Pontos de máximo: e mínimo
e) Intervalos de crescimento e decrescimento.
f) Concavidade
g) Pontos de inflexão
Solução
Seja \[f(x)=\frac{e^x}{9x}.\] Determine Domínio, assíntotas, pontos de máximo e mínimo, intervalos de rescimento, concavidade e pontos de inflexão. Faça um esboço do gráfico de $f$. Justifique.
Solução
Determine o retângulo de área máxima, e lados paralelos aos eixos coordenados inscritos na elipse de equação \[4x^2+y^2=1.\]
Solução
Mostre que de todos os retângulos de área fixa $A.$ aquele que tem o menor perímetro é um quadrado.
Solução
Encontre o ponto sobre a reta de equação \[y=4x+17,\] que está mais próximo da origem.
Solução
Determine $a$ e $b$ de forma tal que a área sombreada da figura abaixo seja máxima.

Solução
Assuma que $f$ seja uma função contínua, mostre que \[\left|\int_0^{2\pi}f(x)\sin(2x)~dx\right|\leq \int_0^{2\pi}|f(x)|~dx.\]
Solução
Mostre que para $n\in\mathbb{N}$, \[\int (\ln(x))^n~dx=x(\ln(x))^n-n\int(\ln(x))^{n-1}~dx.\]
Solução
Ache o intervalo em que a curva \[y=\int_0^x\frac{1}{1+t+t^2}~dt\] é côncava para cima.
Solução
Determine se $x=1$ é ponto crítico de \[ f(x)=\int_0^{\sqrt{2+\ln(x)}}e^{t^2}(t^2-2)~dt.\]
Solução
Dada \[ f(x)=\int_0^{\textrm{tg}(x)}\frac{e^{\textrm{arctg}(y)}}{y^2+1}~dy,\] determine $f''(x).$
Solução
Calcule as seguintes integrais
a) \[\int\frac{x+4}{x^2+2x+5}~dx\]
b)\[\int_0^1x\sqrt{x^2+4}~dx\]
c) \[\int\cos(\ln(x))~dx\]
Solução
Calcule
a) \[\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}.\]
b) \[\int \frac{x-9}{(x+5)(x-2)}~dx.\]
Solução
Calcule as seguintes integrais
i) $\displaystyle\int x^2\textrm{sen}(2x)~dx$
ii) $\displaystyle\int x\sqrt{1-x^4}~dx$
iii) $\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2-2x}~dx$
iv) $\displaystyle\int x^2e^{-x}~dx$
v) $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+2}}$
vi) $\displaystyle\int\frac{x-9}{x^2+3x-10}~dx$
Solução
Calcule as seguintes integrais
i) ${\displaystyle {\int}x^{\frac{1}{2}}\ln(x)dx}$
ii) $\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx$
iii) ${\displaystyle \int \textrm{sen}^{6}(x)\cos^{3}(x)dx}$
iv) $\displaystyle \int{\frac{3x-2}{x^{3}-5x^{2}+4x}dx}$
Solução
Calcule as seguintes primitivas
i- \[\int x\cos(3x)~dx\]
ii- \[\int\dfrac{x+1}{x^2+3x}~dx\]
Solução
Calcule as seguintes integrais definidas
i- \[\int_0^{1/2} \frac{\cos(\pi x)}{1+\sin^2(\pi x)}~dx\]
ii- \[\int_2^{2\sqrt{3}} \frac{1}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,dx\]
Solução
Determine a área da região delimitada em cada caso
a) $y=\sqrt{2}\textrm{sen}(x)$, $y=\textrm{sen}(2x)$, para $0\leq x\leq \pi$.
b) $ y=\cos(x),$ $y=\textrm{sen}(x),$ $x=0,$ e $x=\pi/2.$
c) $y=|x|$, $y=x^2.$
Solução
Determine a área da região delimitada por \[ y=2\cos(x),\hspace{1cm}y=\sin(2x),\hspace{1cm}x=-\pi\quad \textrm{e}\quad x=\pi.\]
Solução
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo $\hat{x}$ da área finita delimitada pelo gráfico da curva $y=8-x^3$ no primeiro quadrante.
Solução
Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do gráfico da função $f(x)=1/x$ no intervalo $[1,2]$ ao redor do eixo $\hat{x}.$
Solução
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo $x$ do gráfico de $\ln(x)$, com $1 \leq x \leq e$.
Solução
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo $\hat{y}$ da área finita delimitada pelo gráfico da curva \[y=8-x^3\] no primeiro quadrante.
Solução
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo $\hat{y}$ da área finita delimitada pelas curvas \[y=x^2\hspace{.3cm} e\hspace{.3cm} y=\sqrt{x}.\]
Solução
Considere a região $R$ limitada pelas curvas \[y=3x+2\hspace{.3cm} e \hspace{.3cm}y=x^{3},\] no intervalo $[0,2].$ Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de $R$ em torno do eixo $x$.
Solução
Calcule os valores de $C\in\mathbb{N}$ para que a integral a seguir seja convergente. Calcule a integral \[ \int_0^\infty\left(\frac{4}{x+3}-\frac{C}{x+2}\right)~dx \]
Solução
Avalie a convergência das integrais impróprias
a) \[ \int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2}~dx.\]
b) \[ \int_{0}^\infty\frac{x\cos^2(x)}{(x^2+1)^2}~dx \]
c) \[ \int_{0}^2\frac{dx}{(x-1)^{4/3}}. \]
Solução
Calcule a integral imprópria \[\int_0^{+\infty}xe^{-x}~dx.\]
Solução
Solução