Leonhard Euler, filho de Paul Euler, ministro protestante, e Margaret Brucker, mudou-se para Riehen com um ano de idade, e lá foi criado. Seu pai o introduziu nos primeiros estudos de matemática.

Quando chegou à adolescência, Euler retornou a Basel para estudar, preparando-se para o curso de teologia na Universidade.

Euler não aprendeu matemática alguma na escola, mas seu interesse, despertado nas lições de seu pai, o levou a estudar sozinho textos diversos e a tomar lições particulares.

Embora muito religioso, Euler não se entusiasmou com o estudo da teologia, e seu pai consentiu que ele mudasse para a matemática.

Terminado o curso, foi convidado a assumir a cadeira de um professor falecido na Universidade de São Petersburgo. Como não  fora selecionado para a cadeira de física da Universidade de Basel, aceitou o primeiro convite e, em 1727, mudou-se para a Rússia.

Chegando lá, afiliou-se à Academia de Ciências, onde teve  contato com grandes cientistas como Jakob Hermann, Daniel Bernoulli e Christian Goldbach.

Em 1730, Euler tornou-se professor de Física da Academia, fato que o permitiu abandonar o posto de lugar-tenente da marinha Russa, que ele ocupava desde 1727. Três anos mais tarde, com o retorno de Daniel Bernoulli a Basel, Euler assumiu a cátedra de matemática da Academia, e os proventos advindos dessa nomeação permitiram que ele se casasse, em 1734, com Katharina Gsell, uma moça de ascendência suíça.
Os dois tiveram treze filhos, mas apenas cinco sobreviveram à infância. Euler atribui a essa fase algumas de suas maiores proezas científicas. 

depois de 1730 ele desenvolveu uma série de projetos acerca de cartografia, magnetismo, motores a combustão, máquinas e construção naval. ... O foco da sua pesquisa estava agora bem definido: teoria de números; análises no infinito incluindo seus novos ramos, equações diferenciais e o cálculo de variações, e mecânica racional. Ele enxergava esses três campos como intimamente ligados. Estudos de teoria de números foram vitais para a fundamentação do cálculo, e funções especiais e equações diferenciais foram essenciais para mecânica racional, que fornecia problemas concretos.

Em 1736-37, Euler publicou seu livro Mechanica, que tratou extensivamente da análise matemática da dinâmica newtoniana pela primeira vez. Foi também nesta época que seus problemas de saúde começaram. Euler era constantemente atormentado por fortes crises febris, e desenvolveu catarata,  que acabou por lhe tirar a vista. Mas se sua saúde estava abalada, sua reputação, ao contrário, se firmava cada vez mais, e dois prêmios da Academia de Paris, em 1738 e 1740, acabaram por lhe valer uma oferta de trabalho em Berlim.

De início, Leonhard recusou, preferindo permanecer em São Petersburgo, mas a turbulência política na Rússia tornou difícil a vida de estrangeiros lá, e ele reconsiderou.

Chegou a Alemanha como diretor de matemática da recém-fundada Academia de Berlim, que tinha então como presidente Maupertius. As contribuçoes de Euler para a Academia foram notáveis. Ele supervisionava o observatório e o jardim botânico, selecionava pessoal,  gerenciava  várias questões financeiras. Além disso, coordenou a publicação de mapas geográficos, uma fonte de dividendos para a Academia. Também trabalhou no comitê da Academia, lidando com a publicação de trabalhos científicos. E como se não bastasse, sua própria produção científica neste período foi excepcional. Durante os 25 anos que morou em Berlim, Euler escreveu cerca de 380 artigos, livros sobre Cálculo de variações e órbitas dos planetas, sobre artilharia e balística, construção naval e navegação, sobre o movimento da Lua, cálculo diferencial e uma obra científica para leigos: Letters to a Princess of Germany(Cartas a uma Princesa da Alemanha, 3 vols. 1768-72).

Em 1759, com a morte de Maupertius, Euler assumiu a direção da Academia, embora não fosse nomeado presidente. Desavenças com Frederico, o Grande, em torno dessa questão fizeram-no deixar a Alemanha e retornar a São Petersburgo, em 1766.

Em, 1771, velho e doente, Euler teve sua casa destruída num incêndio. Tudo o que ele salvou foram seus manuscritos. Foi nesta época que ele ficou totalmente cego. O impressionante é que mesmo  depois disso ele continuou com seus projetos, e quase a metade de toda a sua produção científica foi concluída após esses incidentes. Evidentemente, Euler não logrou todas essas conquistas sozinho. Ele contou com a ajuda valorosa de dois de seus filhos, Johann Albrecht Euler, que seguia os passos do pai, e Christoph Euler, que estava na carreira militar, e também dois membros da Academia, A. J. Lexell e o jovem matemático N. Fuss, esposo de sua neta.
Euler morreu em 18 de setembro de 1783.

Obra

Ao nos referirmos a Leonhard Euler estamos falando do escritor de matemática mais produtivo de todos os tempos. Para se ter uma idéia, a Academia de Ciências de São Petersburgo continuou a publicar trabalhos novos de Euler até 50 anos depois da sua morte .

Entre suas contribuições mais conhecidas na matemática moderna estão a introdução da função gama, a relação entre o cálculo diferencial de Leibniz e o método das fluxões de Newton e a resolução de equações diferenciais com a utilização do fator integrante.

Euler foi o primeiro a tratar seno e cosseno como funções. Devemos a ele as notações para uma função, para uma função, para a base do logaritmo natural, para a raiz quadrada de -1, para a somatória, para derivadas de graus elevados, entre muitas outras. Vamos examinar superficialmente alguns dos trabalhos de Leonhard Euler que consideramos mais relacionados com um curso de cálculo universitário.

Talvez o resultado mais importante alcançado por Euler em sua juventude tenha sido a solução do problema de Basel, que consistia em encontrar uma forma fechada para a soma de séries infinitas . Esse problema desafiou muitos dos melhores matemáticos da época, como os Bernoulli, Leibniz, Stirling e de Moivre. Euler ainda calculou o valor desta função para os argumentos 4, 6, 8, 10 e 12: , , , , , .

Outro trabalho dele relacionado a séries infinitas incluiu a introdução de sua famosa constante , que ele provou ser o limite de :

quando tende ao infinito. Ele calculou o valor de com 16 casas decimais. Euler também estudou as séries de Fourier e em 1744 ele foi o primeiro a expressar uma função algébrica por uma série desse tipo, quando encontrou o resultado:

Esse resultado só foi publicado em 1755.

Alguns podem dizer que a análise matemática começou com Euler. Em 1748, na obra Introductio in analysin infinitorum, ele deu mais precisão à definição de funções idealizada por Johann Bernoulli. Neste trabalho, Euler baseou o cálculo em funções elementares, em oposição às curvas geométricas, como era feito até então. Ainda nele, é apresentada a fórmula:

Em Introductio in analysin infinitorum, Euler lida com logaritmos tomando apenas valores positivos, muito embora seja descoberta sua a igualdade:

Seus estudos em funções analíticas de variáveis complexas  conduziram-no às equações de Cauchy-Riemann, em 1777, mas o mesmo resultado fora alcançado 25 anos antes por díAlembert.

Em Institutiones calculi differentialis, Euler aborda o comportamento da diferenciação mediante substituições.

EmInstitutiones cauculi integralis (1768-1770) Euler investigou integrais que podem ser expressas em termos de funções elementares, tratou de integrais duplas e  trabalhou com equações diferenciais ordinárias e parciais.

Problemas em física levaram Euler a estudar equações diferenciais. Seus trabalhos abrangeram equações lineares com coeficientes constantes, equações de segunda ordem com coeficientes variáveis, soluções de equações diferenciais em séries de potências, fatores integrantes, e muitos outros tópicos. Observando membranas vibrantes, chegou à equação de Bessel, a qual ele resolveu introduzindo as funções de mesmo nome.

As contribuições de Euler para o conhecimento ainda abrangeram muitas outras áreas. Notadamente , sua aptidão matemática permitiu-lhe empreender grandes avanços no campo da astronomia, incluindo:

... determinação da órbita de cometas e planetas baseadas em poucas observações, métodos de cálculo da paralaxe do Sol, a teoria da refração, considerações sobre a natureza dos cometas,... Seus trabalhos mais impressionantes, pelos quais ele ganhou vários prêmios da Academia de Ciências de Paris, estão relacionados à mecânica celeste, que atraía muitos cientistas da época.

Podem-se citar ainda, da autoria de Leonhard Euler, trabalhos aliando matemática à teoria musical  (pouco conhecidos), e em cartografia.