Campos Aleatórios de Markov e Distribuições Especificadas Através das Densidades Condicionais

O processo de Markov e, em particular, a cadeia de Markov, é um dos tipos de modelos mais populares para representar dados dependentes no tempo. A estrutura uni-dimensional do tempo simplifica tremendamente os cálculos e propriedades desses modelos. Os campos aleatórios de Markov são uma generalização das cadeias de Markov substituindo o espaço-índice unidimensional do tempo por um espaço-índice mais genérico, tal como o espaço geográfico ou uma posição num grafo de vizinhança. O estudo dos campos aleatórios de Markov levou a um problema teórico em probabilidade. A propriedade de Markov está associada com distribuições condicionais. Sabemos que dada a distribuição conjunta de n variáveis aleatórias, podemos deduzir as distribuições marginais de cada uma das variáveis. Podemos também obter as distribuições condicionais de cada variável dados os valores das demais variáveis. Algumas vezes, é possível obter o resultado reverso. Isto é, podemos especificar a distribuição condicional de cada variável dados os valores das demais variáveis e, a partir disso, obter a distribuição conjunta. Não é simples determinar quando este resultado é válido, nem saber como obter a conjunta a partir das distribuições condicionais. Este problema teórico perturbou os estatísticos por vários anos, pois ele era importante para a modelagem de alguns fenômenos aleatórios. Por exemplo, em estatística espacial, uma abordagem natural é a especificação de qual é a distribuição condicional de uma área dado todo o restante do mapa. A propriedade de Markov implicaria que esta distribuição dependeria apenas dos valores de suas áreas vizinhas, e não dos valores de áreas mais distantes. Outras aplicações recentes envolvem a modelagem de dados aleatórios em grafos tais como o tráfego na internet, onde cada página da web é vista como um nó conectado a outras páginas por meio dos links, que fazem o papel de arestas. A principal solução para o problema de determinar se existe e qual é a distribuição conjunta associada com as distribuições condicionais foi encontrada na década de 70 por Hammersley e Clifford. Eles descobriram uma ligação fundamental entre o problema teórico da especificação de uma distribuição via suas condicionais e os campos aleatórios de Markov. Faz parte da historia da estatística o fato de que, incomodados com uma hipótese em sua demonstração, Hammersley e Clifford nunca publicaram a prova de seu teorema. Em 1974, num dos artigos mais citados de estatística e que deu origem a uma imensa quantidade de pesquisa teórica e aplicada, Julian Besag apresentou uma prova do teorema de Hammersley-Clifford que não exigia conhecimentos avançados de probabilidade e matemática. Esta demonstração faz parte dos clássicos da estatística e esse artigo é um dos artigos da coleção Breakthrougs in Statistics. Este minicurso vai fazer uma revisão da pesquisa desenvolvida nesta área. Vamos começar apresentando os conceitos básicos da teoria de grafos necessários para entender o problema e a demonstração. Em seguida, apresentamos o teorema de Hammersley-Clifford com a prova detalhada devida a Besag. Vamos apresentar os principais modelos que podem ser construídos dentro da classe de distribuições exponenciais, incluindo os auto-modelos. Na parte final do minicurso, vamos focar no caso particular de distribuições normais e em modelos de análise geográfica. O modelo mais usado como distribuição a priori na análise de dados espaciais é um modelo autoregressivo condicional (CAR). Vamos estudar este modelo em detalhes, apresentando suas principais propriedades. Além disso, mostraremos que a estrutura de autovalores e autovetores da matriz de adjacência espacial determina a maior parte do comportamento estocástico dos dados. Indicação do nível do curso: Mestrado e Doutorado.

OBS: Este minicurso sera ministrado no mesmo horario do minicurso 1. Analise Estatistica de Simuladores.