O ensino da Matemática em todos os níveis, especialmente no Brasil, é povoado de espectros que incomodam aqueles que os pressentem à sua volta mas, por obra de um misterioso compromisso tácito e coletivo, ou por mera obra do acaso e do costume, e não por desígnio de conspirações, passeiam silenciosamente através das grades curriculares sem experimentar nenhum confronto. Um exemplo elementar disso que vem me assombrando desde o ensino secundário e sobre o qual nunca presenciei alguém se arriscar em dúvidas públicas é o seguinte: Porque todo círculo trigonométrico é dito unitário independente do tamanho com que são desenhados e, além disso, o numero “pi” definido como razão entre comprimento da circunferência e diâmetro tem sempre o mesmo valor? mbora esta questão pareça tão simples é obvia para merecer a atenção dos textos usuais, uma explicação do fato não é tão trivial e somente pode ser abordada à luz da Análise Dimensional aplicada à percepção geométrica do espaço, dois temas totalmente estranhos a maioria dos currículos de Matemática. (É até compreensível, mas longe de justificável, que a Análise Dimensional e a percepção geométrica do espaço estejam ausentes do ensino da Matemática dita ”Pura”, porque elas de fato habitam em uma interface da desdita o que, por isso mesmo, já acarreta certa ojeriza da outra). Nesta palestra tentaremos exorcizar alguns destes Tópicos que são raramente confrontados explicitamente em disciplinas usuais da Matemática ”Superior” muito embora não sejam de forma alguma marginais, mas subjacentes a várias ideias fundamentais da Matemática, o que aumenta ainda mais o mistério da sua imaterialidade. Iniciaremos pelo conceito de Medida (da Analise Dimensional, digo, e não da Análise Matemática que já é figurinha fácil para estudantes de pós), e prosseguiremos até onde o tempo permitir tratando dos conceitos de Escalas e Infinitésimos, Aproximação Assintótica e da Formula de Stirling que, pela minha experiência, é um dos mais ubíquos espectros vagantes do ensino da Matemática. Portanto, o objetivo da conferencia e simples, mas, suponho oportuno. Tópicos regulares são tratados em disciplinas regulares e temas específicos são assuntos de seminários para poucos aficionados. Apesar da carga de créditos beirando a insanidade e a repetição ad nauseam de vários tópicos, verifica-se que muitos outros temas fundamentais da Matemática acabam por se perder sistematicamente entre as frestas das grades curriculares. Abordando alguns exemplos deste curioso ”fenômeno” espera-se que o assunto geral possa ser melhor discutido. Pretendo escrever algumas notas derivando dessa palestra com maiores detalhes e referencias mas isso não é uma promessa a curto prazo, apenas uma pretensão a longo prazo!

Nesta apresentação, definiremos a noção de cadeia de ordem infinita e g-medida. Em seguida, estudaremos o problema da existência e unicidade das g-medidas. Por fim, apresentaremos alguns resultados recentes da área.

A principal motivação para se estudar métodos para resolver equações diferenciais é buscar entender o processo físico que se acredita ser inerente a equação estudada. A importância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples correspondem a modelos físicos úteis, como, por exemplo, o crescimento de uma população, proliferação de uma doença, sistemas massa-mola, circuitos elétricos, dentre outros. A construção, bem como a compreensão, de um processo complexo é alcançada, em geral, através da compreensão de modelos mais elementares. Desta forma, o conhecimento profundo e detalhado destes modelos mais básicos é o primeiro, e fundamental passo, para se estudar problemas mais complexos e detalhistas. A arte de obter uma equação diferencial cuja solução descreva bem a realidade traz consigo uma enorme dificuldade, nas palavras de Albert Einstein (Toda nossa ciência, medida contra a realidade, é primitiva e infantil e ainda assim a coisa mais preciosa que temos). Exemplificando, a dengue é um problema de difícil modelagem pois, não tem relação somente com o ciclo de vida do mosquito transmissor, também estão envolvidas variáveis como políticas governamentais de saneamento e a intensidade das chuvas. Este tipo de dificuldade é verificada em praticamente todas as áreas do conhecimento como, por exemplo, na economia, mercado de ações, previsão do tempo, dentre outros. De maneira geral, quanto mais próximos estamos de descrever perfeitamente um fenômeno, mais complexas são as equações relativas a ele. Neste contexto, o cálculo de ordem não-inteira, tradicionalmente conhecido como fracionário, desempenha um papel de enorme destaque. São inúmeras as áreas do conhecimento nas quais o cálculo fracionário mostrou-se como uma ferramenta precisa para se refinar a descrição de fenômenos naturais tais como, probabilidade, biomatemática, psicologia, funções especiais, mecânica dos fluidos, fenômenos de transporte e redes elétricas. A maneira canônica de utilizar essa poderosa ferramenta é substituir a derivada de ordem inteira da equação diferencial ordinária ou parcial, que descreve um determinado fenômeno, por uma de ordem não-inteira. De maneira natural, esse método nos conduz a equações diferenciais de ordem não-inteira e a necessidade de resolvê-las. Usualmente, a solução de uma equação diferencial fracionária é dada em termos de um parâmetro (ordem da derivada) e a solução da respectiva equação de ordem inteira é recuperada como caso particular deste parâmetro e em muitos casos a ordem da derivada que torna a solução da equação mais próxima da realidade não é inteira. Nesta palestra serão apresentados os aspectos históricos do cálculo fracionário, passando por seus principais autores, primeiras definições e aplicações. Feito isto, serão apresentadas as formas mais precisas de se definir integrais e derivadas de ordem não inteira e, a partir destas definições, vamos apresentar algumas aplicações recentes do cálculo fracionário.

Dreaming is something that everyone can (and should) do. Soccer players dream about winning the World Cup, scoring the golden goal at the final minute. Engineers dream about a chance to work for NASA and pay a visit to the outer space to see our blue planet. We scientists have our own dreams. We dream about discoveries that could leave a true mark in present and future generations. For mathematicians, several open problems have challenged us for decades and, among these, the Riemann Hypothesis, posed in 1859, is perhaps the most fascinating and mysterious unsolved enigma. Its solution would yield a one way ticket to mathematical immortality, and the bets are on to see if we will witness such an achievement in our lifetime.

A teoria dos conjuntos fuzzy foi proposta por Lofti A. Zadeh há exatos 50 anos, em seu artigo intitulado “Fuzzy Sets”. Como consequência foi criada a lógica fuzzy, cuja ideia já vinha sendo discutida desde cerca de 1920, por Lukasiewicz, Tarski e outros contestadores da lógica aristotélica e a favor de uma lógica multivalorada. A ideia original de Zadeh é a de traduzir para a linguagem da máquina os conceitos envolvendo conjuntos de fronteiras não abruptas. Em outras palavras, elementos de um universo podem possuir pertinência intermediária a um conjunto (fuzziness). Essa graduação está presente em nossa linguagem cotidiana; por exemplo, um copo pode estar 60% cheio, não se apresentando totalmente cheio nem totalmente vazio. Em termos de lógica, podemos dizer que a afirmação “o copo está cheio” não é totalmente verdadeira nem totalmente falsa, pois o copo está parcialmente cheio, ao mesmo tempo em que está parcialmente vazio. Muitas vezes os conjuntos fuzzy e a lógica fuzzy são utilizadas para modelar incerteza. E resultados e argumentos não faltam para justificar tal abordagem. Entretanto, não é esta a origem dos conjuntos fuzzy e algumas aplicações ilustram as diferentes visões.

Nesta palestra daremos uma breve introdução às ondaletas e apresentaremos algumas aplicações em Estatística, notadamente na área de Séries Temporais. Serão discutidas aplicações na estimação de modelos semiparamétricos em regressão, cópulas e modelos autorregressivos com coeficientes funcionais.

Este trabalho refere-se à construção de um modelo matemático fuzzy para predizer o estadiamento patológico do câncer de próstata. A intenção foi auxiliar o especialista no processo de tomada de decisão com relação ao estádio da doença. O modelo consiste em um sistema baseado em regras fuzzy, que combina os dados pré-cirúrgicos do paciente - estado clínico, nível de PSA e grau de Gleason - valendo-se de um conjunto de regras linguísticas, elaboradas a partir das informações existentes nos nomogramas usados pelos médicos. Com isso buscamos obter a chance de o indivíduo, com determinadas características clínicas, estar em cada estágio de extensão do tumor: localizado, localmente avançado e metastático. Simulações foram realizadas, com dados reais de pacientes do Hospital das Clínicas da UNICAMP e os resultados foram comparados com as probabilidades de Stephenson e Kattan (2006), que são utilizadas nas decisões médicas atualmente. Um software foi desenvolvido a partir deste modelo e o objetivo é disponibilizá-lo para que os especialistas possam experimentá-lo no trabalho com os pacientes. O programa consiste de uma interface gráfica que faz a interação com as sub-rotinas que efetuam os cálculos. O seu código fonte foi escrito em JAVA e para executá-lo é preciso ter instalado, pelo menos, a versão 1.6 da plataforma Java SE, conveniente ao sistema operacional do computador. Com as devidas instalações, o software construído foi testado no Linux/GNU, Windows XP e Vista. A versão web do programa foi recentemente desenvolvida, munida de banco de dados, para que o especialista possa fazer um histórico do paciente.

Our main goal in this paper is to explain the proportion of homosexuality non-acceptance in different nations. To that end, we consider the beta regression model proposed by Ferrari and Cribari-Neto (2004). We use several conditioning variables, such as average intelligence, per capita income, an indicator as to whether the country is Muslim, an income inequality index and a religious diversity index. We estimate the impacts of intelligence and proportion of religious disbelievers on the prevalence of homosexuality non-acceptance. Such impacts are statistically significant and highly negative, i.e., higher intelligence levels and higher proportion of disbelievers are associated with lower prevalence of homosexuality non-acceptance. Bootstrap confidence intervals are also computed.

Se trata do problema de otimização com restrições. Explicaremos o que significam condições de otimalidade, algoritmos, criterios de parada e tempos computacionais. Explicaremos o que se  entende por resultados de complexidade e daremos exemplos.

Como aproveitar o ambiente propiciado pelo IMECC para construirmos nossa carreira como pesquisadores? Como melhorar este ambiente? O que esperam de ex-alunos do IMECC? Quais os desafios enfrentados pelos jovens pesquisadores e o que tem sido feito para transpô-los? Estamos acompanhando o crescimento da Matemática brasileira? Nesta conversa gostaria de, juntamente com outros colegas presentes, provocar os estudantes de pós-graduação do IMECC a pensar nestas e em outras questões que acredito serem importantes no nosso ambiente.

Consideraremos um sistema dinâmico conservativo, e estudaremos a questão de contar as soluções periódicas que possuem um valor fixado da energia total. Mostraremos como usar a Teoria de Morse para dar estimativas sobre o número destas soluções.