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\begin{document}

{\small

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{\bf DM-IMECC-UNICAMP-MA224-turma P - 2s2018} \ \hfill Prof. Marcelo Santos 
{\bf Aulas sobre volume: Problemas} 

Ref.: [1] Lima, E. et.al. {\em Temas e Problemas},
3a. Edição, 2010; [2] Lima, E. {\em Medida e Forma em Geometria}, 4a. Edição, 2006;
[3] outros)      

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1. \ a) [1, Problema 5.11] \ Mostre que o volume de um tronco de cone de altura $h$ cujas bases s\~ao
c\'\i rculos de raios $R$ e $r$ \'e dado por $V=\pi h(R^2+r^2+Rr)/3$.

b) Calcule o volume de um copo comum de pl\'astico descart\'avel que se usa para refrigerante
cujas dimensões s\~ao as seguintes: di\^ametro das bases: 7,5cm e 5cm; altura: 10cm.

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2. \ Mostre que o volume de um octaedro regular \'e dado por $V=l^3\sqrt2/3$,
onde $l$ \'e o comprimento da (de uma das) aresta(s).

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3. \ a) [2, Exerc\'\i cio 4.5] \ Dadas as semirretas n\~ao coplanares $OX,\ OY,\ OZ$, com a mesma origem $O$, seja $V(x,y,z)$ o volume da pir\^amide de v\'ertice $O$ cuja base \'e o tri\^angulo $XYZ$, com $\overline{OX}=x$, $\overline{OY}=y$ e $\overline{OZ}=z$. Mostre que $V(x,y,z)$ \'e diretamente proporcional a $x,\ y$ e $z$ e conclua que $V(x,y,z)/V(x',y',z')=xyz/(x'y'z')$. 

b) [2, Exerc\'\i cio 4.6] \ Se os \^angulos $\angle XOY$, $\angle XOZ$ e $\angle YOZ$ s\~ao retos, mostre
que $V(x,y,z)=xyz/6$.

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4. \ [2, Exerc\'\i cio 4.18] \ No espa\c co tridimensional $E$, consideremos o sistema de coordenadas cartesianas definido pelos tr\^es eixos ortogonais $OX$, $OY$ e $OZ$. Dados n\'umeros positivos $a$, $b$ e $c$, seja $f:E\to E$ a fun\c c\~ao definida por $f(P)=P'$, onde $P=(x,y,z)$ e $P'=(ax,by, cz)$. Mostre que a esfera $F$ de centro $O=(0,0,0)$ e raio $1$ \'e transformada por $f$ numa figura $F'$ tal que $vol (F')=abc\cdot vol (F)$.

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5. \ [2, Exerc\'\i cio 4.20] \ O {\em parabol\'oide de revolu\c c\~ao} de altura $h$ \'e o s\'olido gerado pela rota\c c\~ao do segmento de altura $h$ da par\'abola $z=y^2$ (situada no plano $OYZ$) em torno do eixo vertical $OZ$. Em termos das coordenadas cartesianas $(x,y,z)$ esse parabol\'oide \'e o conjunto dos pontos do espa\c co cujas coordenadas comprem as condi\c c\~oes $x^2+y^2\le z\le h$. Observe que cada plano horizontal $z=\mbox{constante}>0$ intersecta o parabol\'oide segundo um c\'\i rculo de raio $\sqrt{z}$. Considere o prisma de altura $\pi$, que tem por base o tri\^angulo ret\^angulo is\'osceles, no plano $OYZ$, cujos v\'ertices s\~ao os pontos $O$, $(0,0,h)$ e $(0,h,h)$. Use o Princ\'\i pio de Cavalieri para concluir que o volume do parabol\'oide \'e igual a $\pi h^2/2$.

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6. \ [2, Exerc\'\i cio 4.23] \ A figura s\'olida gerada pela rota\c c\~ao de um c\'\i rculo de raio $a$
em torno de um eixo vertical situado no plano do c\'\i rculo, a uma dist\^ancia $b>a$ do seu centro, chama-se {\em toro}. Compare as se\c c\~oes horizontais do toro com as de um c\'\i rculo reto horizontal cuja base \'e um c\'\i rculo de raio $a$ e cuja altura mede $2\pi b$. (Suponha que o cilindro e o toro repousam sobre o mesmo plano, perpendicular ao eixo do toro.) Use o Princ\'\i pio de Cavalieri para concluir que o volume do toro \'e igual a $2\pi^2 a^2b$.} 

\end{document}
