Para o exercício 4.10 do [Salsa], use a estimativa das derivadas (Teorema 2.2.7 do [Evans]) e mais a desigualdade de Hölder com as funções f=1 e g=|u| na bola B_r. Ok?

O exercício 4.9 é um pouco mais delicado. Em primeiro lugar deve ter um erro de digitação, pois o enunciado menciona o problema de Neumann (e não o de Dirichlet), ou seja, as condições de contorno (CC)/de fronteira devem ser para a derivada normal de u (e não para u). As sugestões para resolver o mesmo são as seguintes:

1. Para o problema de Neumann ter uma solução u devemos ter que a integral da derivada normal de u na fronteira do domínio dever ser igual à integral do laplaciano de u no domínio. Usando este fato podemos concluir (fazendo as contas) que lambda=-3/2. (Espero não ter errado nas contas.)

2. Escreva o laplaciano em coordenadas polares (CP), x=rcos\theta, y=rsen\theta. É interessante saber fazer esta conta. (No apêndice do [Salsa] tem o laplaciano em coordenadas cilíndricas e esféricas, das quais as CP (no plano) é um caso particular). Daí procure a solução do problema da seguinte forma u=f(r)cos\theta + g(r)cos^2\theta + h(r). (Cheguei a esta forma após várias outras tentativas.) Substituindo esta forma na equação "laplaciano (em CP) de u = -1", chegamos a seguinte equação (novamente, espero não ter errado nas contas):

(f''+f'/r-f/r^2)cos\theta + (g''+g'/r-4g/r^2)cos^2\theta + 2g/r^2 = -1-h''-h'/r.

Daí resolvam os seguintes problemas

f''+f'/r-f/r^2=0, f'(1)=1, f'(2)=0;

g''+g'/r-4g/r^2=0, g'(1)=0, g'(2)=lambda;

2g/r^2=-1-h''-h'/r, h'(1)=h'(2)=0,

obtendo a solução explícita, no caso lambda=-3/2.