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\begin{document}

\noindent
DM-IMECC-UNICAMP--MA901/902-2s2019 \hfill  Prof. Marcelo Santos

%\bigskip

\begin{center}{\large\bf Alinhamento de 3 pontos, Volumes de Paralelepípedos e  Áreas de Paralelogramos usando Geometria Analítica}\footnote{Texto motivado pela Apresentação do Renan.}
\end{center}
\hfill 30/11/2019

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O módulo (valor absoluto) do determinante
$$
\left|\begin{matrix} x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{matrix}\right|
$$
é o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
$$
\overrightarrow{OP_1}, \ \ \overrightarrow{OP_2}, \ \ \overrightarrow{OP_3},
$$
de coordenadas $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$, $(x_3,y_3,z_3)$, em um sistema de coordenadas cartesianas $xyz$, no espaço, sendo $O$ a origem deste sistema de coordenadas cartesianas. V. e.g. o livro do Prof. Reginaldo J. Santos, {\em Matrizes, Vetores e Geometria Analítica},\\ \href{https://www.dropbox.com/s/aa71ogpk8xski1j/gaalt1.pdf?m}{https://www.dropbox.com/s/aa71ogpk8xski1j/gaalt1.pdf?m}, 2013; especificamente, os Teoremas 3.7 e 3.8, nas páginas 193 e 196, deste livro. 

\vspace{5cm}

\bigskip

Quando a altura do paralelepípedo for igual a 1, em relação a uma face (base), qualquer, o módulo do determinante acima é área desta face (da base).\footnote{Volume = (área da base)$\times$(altura).} \ (Toda face de um paralelepípedo é um paralelogramo.)

\newpage

\noindent
DM-IMECC-UNICAMP--MA901/902-2s2019 \hfill  Prof. Marcelo Santos

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Dados três pontos $P_i(x_i,y_i)$, $i=1,2,3$, não alinhados (não colineares) em um plano cartesiano $xy$, podemos considerá-los no sistema de coordenadas cartesianas no espaço $xyz$ com a identificação $(x_i,y_i)=(x_i,y_i,0)$. O parelelepípedo determinado pelos vetores
$$
\overrightarrow{P_1Q}, \ \ \overrightarrow{P_1P_2}, \ \ \overrightarrow{P_1P_3}, 
$$ 
onde $Q=(x_1,y_1,1)$, tem altura 1, tomando como base o paralelogramo determinado pelos pontos $P_1,\ P_2,\ P_3$.\footnote{No livro do Prof. Reginaldo, supracitado, no Exercício 3.2.37, p. 207,  é pedido para mostrar que a área do triângulo determinada pelos pontos $P_1,\ P_2, \ P_3$ é metade do determinante acima e é sugerida a construção deste paralelogramo de altura 1.}

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Conclua\footnote{Os vetores $\overrightarrow{P_1Q}, \ \overrightarrow{P_1P_2}, \ \overrightarrow{P_1P_3}$ têm coordenadas $(0,0,1), \ (x_2-x_1, y_2-y_1,0), \ (x_3-x_1, y_3-y_1,0)$. Note a igualdade de determinantes
$$
\left|\begin{matrix}0&0&1\\x_2-x_1&y_2-y_1&0\\x_3-x_1&y_3-y_1&0\end{matrix}\right|
=\left|\begin{matrix} x_1&y_1&1\\x_2-x_1&y_2-y_1&0\\x_3-x_1&y_3-y_1&0\end{matrix}\right|
$$
(desenvolva-os pela 3a. coluna). Fazendo operações elementares nas linhas deste último, concluímos facilmente que é igual ao determinante acima.}
%$$
%\left|\begin{matrix} x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right|.
%$$}
 que uma condição para que três pontos $P_i(x_i,y_i)$, $i=1,2,3$ estejam alinhados é que o determinante
$$
\left|\begin{matrix} x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right|
$$
seja igual a zero.

\medskip

Para uma excelente demonstração desta condição (Teorema) sem usar o Ensino Superior, só usando argumentos algébricos, veja o livro do G. Iezzi et al., {\em Fundamentos da Matemática Elementar}.

\end{document}