Minicurso descrito abaixo, a ser ministrado pelo prof Allan Freitas da UFPB, nos dias 04 e 06 de novembro 2025 de 9:00 às 12:00.
Título: Identidades Geométricas e suas aplicações em resultados de rigidez
Resumo: Por que as bolhas de sabão são esféricas? Por que os canos são cilíndricos? Muitos problemas na interseção entre geometria, análise e física podem ser compreendidos por meio de problemas sobredeterminados, cujo princípio fundamental é que as estruturas tendem a ser “tão simétricas quanto possível.” Neste minicurso,
exploraremos como domínios simétricos surgem naturalmente como soluções únicas desses tipos de problemas. Em particular, discutiremos contribuições relacionadas ao problema de Serrin e ao teorema de Alexandrov, empregando principalmente métodos integrais. Essas técnicas têm se mostrado especialmente poderosas para estender resultados clássicos a variedades Riemannianas, onde concluiremos destacando avanços recentes nessa direção. O conteúdo do minicurso está dividido em 2 aulas
descritas a seguir:
Aula 01: Nesta aula, apresentaremos as notações e principais convenções que serão adotadas ao longo do curso. Revisitaremos as Identidades de Bochner e Reilly como forma de deduzir a Desigualdade de Heintze–Karcher, que nos dá uma caracterização das esferas no espaço euclidiano. Por fim, utilizaremos a Identidade de Minkowski
para concluir uma demonstração devida a Ros do Teorema de Alexandrov: as únicas hipersuperfícies compactas e mergulhadas de curvatura média constante são as esferas.
Aula 02: Iniciaremos esta aula motivando o problema de Serrin, um exemplo clássico de problema sobredeterminado. Mostraremos como a bola surge como a única solução desse problema por meio do método da P-função, introduzido por Weinberger. Para isso, revisitaremos o Princípio do Máximo e apresentaremos uma identidade fundamental: a Identidade de Pohozaev. Para finalizar, veremos como o método integral abordado neste minicurso é eficaz para estender os resultados discutidos a um contexto mais geral de domínios em variedades Riemannianas. Em particular, enfatizaremos como contribuições recentes têm apontado novas direções de pesquisa nesse tema.