Seminars

On the structure of the Birkhoff-irregular set for some subshifts of finite type

Speaker: Sebastian Burgos (Penn State University)
Abstract: We study the set of irregular points for Birkhoff averages for a class of topologically mixing subshifts of finite type. It is well known that, despite the irregular set having zero measure for every invariant measure, it possesses full topological entropy and Hausdorff dimension. We establish that for these systems, the irregular set is not only abundant in its dimensional properties but also contains uncountably many pairwise disjoint subsets, each with full entropy and dimension.
Date: 19/11/2024 – 16:00
Room: https://meet.google.com/hhk-vvch-vdk

Extended Symbolic Dynamics: Entropies and the Isomorphism problem

Speaker: Neemias Martins
Abstract: In this talk, we present a symbolic dynamical system defined in a locally invertible context and show how its folding and Kolmogorov-Sinai entropies are related. We use these results to study the isomorphism problem of extended Bernoulli maps following Ornstein’s techniques.
Date: 12/11/2024 – 16:00
Room: 321 IMECC

Hyperbolicity for Infinite Delayed Difference Equations

Speaker: Matheus Cunhas
Abstract: We show that the hyperbolicity of a linear delay-difference equation with infinite delay, expressed in terms of the existence of an exponential dichotomy, can be completely characterized by the hyperbolicity of a linear cocycle obtained from the solutions of the equation. As an appli-
cation of this characterization, we obtain several consequences: the extension of hyperbolicity to all equations in the invariant hull; the robustness of the existence of hyperbolicity for all equations in this hull under sufficiently small linear perturbations; and the equality of all spectra in the invariant hull.
Date: 29/10/2024 – 16:00
Room: 321 IMECC

Geometry of Shilnikov connections in Filippov Spaces

Speaker: Matheus Cunha
Abstract: The concept of sliding Shilnikov connection has been recently introduced and represents an important notion in Filippov systems, because its existence implies chaotic behavior on an invariant subset of the system. The investigation of its properties has just begun, and understanding the topology and complexity of its invariant set is of interest. We conduct a local analysis on the first return map associated to a Shilnikov sliding connection, which reveals a conformal iterated function system (CIFS) structure. By using the theory of CIFS, we estimate the Hausdorff dimension of the local invariant set of the first return map, showing, in particular, that it is strictly greater than 0 and strictlyless than 1, and its one-dimensional Lebesgue measure is 0. Moreover, we prove that the closure of the local invariant set is a Cantor set and has the same Hausdorff dimension and Lebesgue measure of the original invariant set. Furthermore, it is given by the invariant set adjoined with the set of all pre-imagesof the regular-fold point. At last, we discuss some topological and ergodic properties.
Date: 22/10/2024
Room: 321 IMECC

Random Dynamical Systems: An Introduction

Speaker: Matias Zimmermann
Abstract: The main purpose of this short seminar is to present and popularize the notion of a Random Dynamical System (RDS) and to give an impression of its scope. The concept of a RSD is an extension of the deterministic concept of a dynamical system, and it reduces to the latter if it does not depend on a stochastic term. Informally, the theory considers the random composition of different maps chosen from a typical sequence of transformations. A natural question in the study of these systems is how can we describe these chaotic phenomena in random dynamical systems? The answer to this question can be dealt with by employing the random thermodynamic formalism developed in recent years.
Date: 15/10/2024 – 16:00
Room: 321 IMECC

Entropy for compact operators and results on entropy and specification

Speaker: Paulo Lupatini
Abstract: We prove that the specification property implies infinite topological entropy for operators acting on infinite dimensional $F$-spaces. We also prove that compact operators acting on Banach spaces have finite entropy and the entropy depends exclusively on the operators point spectrum. Additionally, we prove that the variational principle is not valid for compact operators acting on Banach spaces.
Date: 08/10/2024 – 16:00
Room: 321 IMECC

Construction of Partially Hyperbolic Geodesic Flows via conformal deformation

Speaker: Ygor de Jesus
Abstract: In this talk we are going to present a construction of examples of partially hyperbolic geodesic flows that are not of Anosov type. This problem was first approached by Car- neiro and Pujals. Their construction is based on deforming the Riemannian metric along a closed geodesic in order to break the hyperbolic behavior. Based on their work, we propose a new construction with several advantages to analyze the remaining hyperbolic behavior. With the new construction, we can have finer curvature estimates and prove ergodicity in some cases. Besides that, we present a criterion for obtaining robustly transitive geodesic flow inside this class. For the robust transitivity criterion, we present a new notion of SH-saddle property. As a consequence of these results, we can observe new behaviors for the geodesic flow in manifolds with conjugate points.
Date: 01/10/2024 – 16:00
Room: 321 IMECC

Conexão de Shilnikov Em Sistemas Lineares Por Partes em R³.

Speaker: Eduarda Dutra de Almeida
Abstract: Neste trabalho, estudamos a existência e unicidade de conexões homoclínicas em sistemas de equações diferenciais ordinárias suaves por partes da forma

x’=Ax+n⁺, se h(x)>0,

x’= Bx+n⁻, se h(x)<0,

onde x ∈ R³, a função h é expressa por h(x) = z e x’ denota a derivada em relação ao tempo t. Além disso, A, B ∈ M₃(R) e n^± = (n₁^± , n₂^± , n₃^± ) são a matriz e o vetor de parâmetros, respectivamente, com cada a_ij, n_i^± ∈ R. Em particular, analisamos a ocorrência de uma conexão homoclínica, do tipo Shilnikov, para sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares por partes em R³.
Date: 24/09/2024 – 16:00
Room: 321 IMECC

Bifurcações e catástrofes

Speaker: Pedro Campos
Abstract: A teoria de bifurcações de sistemas dinâmicos estuda a mudança de retratos de fase causada pela mudança de parâmetros de um sistema. Em geral, o conceito de equivalência topológica é utilizada para identificar retratos de fase “similares” e propor uma classificação de bifurcações baseada em quais mudanças são observadas nas classes de equivalência obtidas. A expansão de tal classificação para casos mais complexos, porém, traz consigo uma miríade de problemas técnicos que até hoje esperam solução. Nessa apresentação, vamos discutir o conceito de equivalência de contato como uma ferramenta que ajuda a compreender bifurcações, incluindo um resultado recente.
Date: 17/09/2024 – 16:00
Room: https://meet.google.com/awm-frzk-pzy

Introdução a Espaços Uniformes e Aplicações

Speaker: Felipe Carvalho Silva
Abstract: Continuidade uniforme é um importante conceito para muitas das áreas da matemática, usualmente estudada em termos de uma métrica. Naturalmente, podemos nos questionar se é possível generalizar essa definição para espaços mais gerais, presumidamente espaços topológicos. Surpreendentemente e diferente da continuidade, a continuidade uniforme não é proveniente da topologia e requer uma estrutura adicional no espaço para poder ser abordada. Essa estrutura é chamada uniformidade e nos permite explorar diversas propriedades gerais, assim como uma topologia nos permite explorar propriedades da continuidade. Essa palestra tem como objetivo introduzir o conceito de Espaços Uniformes; apresentar algumas das “propriedades uniformes”, isto é, propriedades preservadas por transformações uniformes, e, por fim, expor possíveis aplicações dessa estrutura em pesquisas atuais. A saber, no contexto da dinâmica de operadores, entropia topológica e caos linear, mas que podem certamente ser aplicadas em outros cenários.
Date: 10/09/2024 – 16:00
Room: 321 IMECC

Uma introdução ao Índice de Conley

Speaker: Letícia Cândido
Abstract: A teoria do índice de Conley tornou-se uma ferramenta importante no estudo qualitativo de equações diferenciais, onde pode-se estudar a estrutura local de um conjunto isolado e invariante. Tal índice pode ser definido no contexto mais geral de um fluxo contínuo em um espaço topológico. A teoria de Conley já foi bem explorada no contexto de fluxos de Morse em variedades fechadas. Nesse contexto, os índices de Conley fornecem uma fórmula alternativa para um importante invariante topológico, a característica de Euler da variedade. Além disso, temos uma relação com o índice de Poincare-Hopf associado a singularidades isoladas de um campo vetorial em uma variedade suave, i.e., quando a característica de Euler de uma variedade M é a soma sobre todas as singularidades isoladas do campo vetorial definido em M. Com isso, o índice de Conley, uma ferramenta da topologia algébrica, consegue nos fornecer resultados importantes sobre variedades e fluxos definidos em tais variedades.
Date: 03/09/2024 – 16:00
Room: 321 IMECC

Caos não determinístico em sistemas dinâmicos suaves por partes

Speaker: Pedro Mattos
Abstract: Nosso contexto são campos vetoriais suaves por partes (CVSP) definidos em variedades bidimensionais com um número finito de pontos de tangência. Provamos que transitividade topológica é uma condição necessária e suficiente para a ocorrência de caos não determinístico quando o sistema do CVSP tem regiões de deslize e escape não vazias. Um resultado fundamental para fluxos contínuos é a equivalência de transitividade topológica e a existência de uma órbita densa. Provamos, no nosso contexto, que transitividade topológica para sistemas de CVSP é de fato equivalente à existência de uma órbita densa, embora, em contraste com o caso do fluxo contínuo, não consigamos garantir que a órbita densa implique a existência de um conjunto residual de órbitas densas. Finalmente, provamos que, nesse contexto, transitividade topológica implica entropia topológica estritamente positiva para o sistema do CVSP. Esse cálculo é feito usando técnicas similares àquelas da dinâmica simbólica.
Date: 27/08/2024 – 16:00
Room: 321 IMECC

Advances in Computing the Global Dynamics of ODE

Speaker: Ewerton Rocha Vieira (Rutgers University and UFG)
Abstract: In this talk, we explore the challenges faced in analyzing time-varying systems with multi-scale dynamics. While traditional methods model these systems using ordinary differential equations (ODE), the direct analysis of such models is often difficult due to poorly measured parameters and numerous variables. To overcome these challenges, we propose a novel approach based on combinatorics and algebraic topology. We move away from classical ODE analysis and focus toward a more robust, scalable, and computable description of global dynamics in terms of annotated graphs (Morse graphs) and Conley complexes.
Date: 20/08/2024 – 16:00
Room: 321 IMECC