Parametrizações e Equações

Uma questão central na geometria analítica é transitar entre duas formas de representar objetos geométricos em espaços vetoriais.

A forma paramétrica é essencialmente construtiva: variando um ou mais parâmetros, descrevemos (ou percorremos) todos os pontos do nosso objeto.

Quando usamos equações, fazemos o que é chamada de uma descrição implícita: descrevemos nosso objeto como todos os pontos do espaço vetorial em questão que satisfazem aquela(s) equação(ões).

Em (ℝ^2)

Nós já vimos um exemplo interessante no plano cartesiano.

Como podemos entender o seguinte conjunto:

C= {(x,y) ∈ (ℝ^2)|(x^2)+(y^2)=1}

Uma forma é essencialmente geométrica, usando o Teorema de Pitágoras e fazendo a tradução.
Isso é essencial, mas não é o foco deste notebook.

Aqui queremos comparar esse conjunto com o objeto parametrizado por:

t ↦(cos t, sen t)

ou ainda, em uma notação de conjuntos

D = {(cos t, sen t)∈(ℝ^2), t∈ℝ}

Não é difícil entender/mostrar que todo elemento do conjunto D é também um elemento do conjunto C.
Faça isso você mesm@!

Usando a linguagem de conjuntos, isso corresponde a mostrar que D ⊆ C, ou seja, que D é um subconjunto de C.

Do ponto de vista da lógica, isso corresponde à implicação: P∈D  => P∈C.

É um pouco mais difícil mostrar que todo elemento do conjunto C é também um elemento do conjunto D.
Você deve investir algum tempinho tentando fazer esse exercício.

Se você tiver feito o exercício, na linguagem de conjuntos você terá provado que C ⊆ D. E se juntarmos isso com a informação anterior que D ⊆ C, concluímos que C = D.

Analogamente, do ponto de vista da lógica, esse exercício corresponde a demonstrar a afirmação P∈C  => P∈D, que, unida com a afirmação anterior, P∈D  => P∈C, nos dá a equivalência P∈C ⧦P∈D.

O Caso Linear

Como discutido acima, passar de uma descrição para outra é um problema importante.
Por vezes pode ser mais simples uma direção do que a outra...
Mas é muito importante que o caso onde a equação (ou as equações) considerada(s) é(são) polinômio(s) de primeiro grau nos permite uma descrição completa!

Lembremos que um polinômio é uma soma de monômios.
Agora precisamos nos acostumar com a ideia que, quando trabalhamos com duas variáveis, um monômio é algo da forma (cx^m)(y^n), onde o grau desse monômio é dado pela soma dos números naturais m+n.

Um polinômio de grau g é uma soma de monômios com grau até g.
Assim, um polinômio de primeiro grau nas variáveis x e y é uma expressão da forma

p(x,y) = ax + by + c,

onde a, b e c são constantes (reais, pois no nosso curso só interessam números reais), os dois primeiros termos são monômios de primeiro grau, enquanto o último é um monômio de grau zero.

Vamos começar por um exemplo particular. Como obter uma descrição paramétrica para o conjunto:

R = {(x,y)∈(ℝ^2)|3x-4y=5}

Faça esse exercício.
Perceba que ele corresponde ao caso a=3, b=-4 e c=-5 da equação p(x,y) = 0.

Uma solução possível é

x(t) = 4t
y(t) = 3t -5/4

Que pode ser escrita ainda de várias outras formas...

t ↦ (4,3)t + (0, -5/4)

ou ainda

S = {(4t,3t - 5/4) ∈ (ℝ^2), t∈ℝ}.

Você consegue mostrar que  S ⊆ R ?

E que R ⊆ S ? O que essas duas coisas, juntas, dizem?

Como podemos refrasear isso em uma liguagem mais geométrica? E do ponto de vista da lógica?

A parametrização usada para descrever o conjunto S é única?

Se não, o que diferentes parametrizações possuem em comum?

Será que conseguimos um método para passar de uma descrição para a outra, tanto em um sentido quanto no outro?

Em (ℝ^3)

Como será que essa conversa se generaliza para o (ℝ^3)?

Será que uma reta poderá ser descrita por uma única equação?

Qual o significado geométrico do conjunto de zeros de um polinômio de primeiro grau em três variáveis?

Pense nessas perguntas (e em quais outras você quiser). Tente encontrar respostas para elas.