Espaços Vetoriais

Lembretes de algumas discussões em sala

Nós usamos parametrizações de retas. Em duas dimensões, fazíamos

t -> (a*t+u,b*t+v) = (a,b)*t + (u,v)

Já para três dimensões, usávamos (x(t),y(t),z(t)). Outro exemplo de parametrização de reta é

t -> (a*t+u,b*t+v, c*t+w) = (a,b,c)*t + (u,v,w)

Onde percebemos o mesmo formato:

t -> A*t + V

onde usamos acima letras maiúsculas para substituir o que em um caso eram os pares ordenados, e no outro eram as triplas ordenadas.

Entendemos então que duas operações “novas” foram introduzidas, e o interessante é quanta coisa conseguiremos com essas duas operações.

Os objetos (pares, triplas... sejam quais forem) que agora trabalhamos são chamados de vetores.
O universo onde eles habitam se chama Espaço Vetorial.  
Um conjunto V é um espaço vetorial se duas operações são possíveis:

A primeira é multiplicar cada elemento de V por um escalar t (no nosso curso, um “escalar” significa um número real -- outros casos são possíveis e interessantes, mas eu vou resistir a eles nesse curso).
Sendo um pouco mais preciso, o que estamos pedindo é que para todo vetor A e todo escalar t, exista o vetor A*t.

A segunda é somar vetores. 
Assim, se A e B são vetores de V, A+B também tem que ser.

O Mathematica sabe operar internamente com isso.
Ele “sabe” somar vetores e multiplicar vetores por números.
De uma maneira mais construtiva e lembrando aquilo que já discutimos antes, somamos vetores fazendo a soma “componente a componente” e multiplicamos um vetor por um escalar multiplicando cada componente (ou cada “entrada”) do vetor por esse mesmo escalar.