Parametrizações - Agora em 3D

O espaço tridimensional

Assim como o plano cartesiano é uma forma de colocar coordenadas no plano, também podemos trabalhar com o espaço tridimensional usando coordenadas (x,y,z). Se no plano cartesiano usávamos pares ordenados para descrever pontos, agora usamos triplas ordenadas.

Se, novamente, usarmos um parâmetro t, teremos triplas da forma (x(t),y(t),z(t)).
O que você espera obter quando fazemos t variar em um intervalo de números reais?

Novamente, o Mathematica pode nos ajudar, mas você deve manter aquela ideia de interagir com o Mathematica. Antes de “cair na tentação do <shift>+<enter>”, pense o que você espera obter.

Por exemplo, o que esperar do comando

ParametricPlot3D[{a*t,b*t,c*t},{t,0,1}]

Havia várias respostas possíveis para sua expectativa :)
Talvez o resultado não tenha sido nenhuma delas...
Mas um detalhe interessante é que não obtivemos nada “em especial” porque o Mathematica não sabe o que queremos com a, b e c...
Nosso próximo passo é atribuir valores a eles e, novamente, você deve pensar o que espera obter antes de pressionar as teclas mágicas...

a=1
b=2
c=3

ParametricPlot3D[{a*t,b*t,c*t},{t,0,1}]

Novamente, podemos “brincar” com os valores das contantes a,b,c e entender seus significados:

c=-1
ParametricPlot3D[{a*t,b*t,c*t},{t,0,1}]

Também é bom variar o intervalo onde toma valores o parâmetro t:

ParametricPlot3D[{a*t,b*t,c*t},{t,-2,2}]

Algumas (muitas!) vezes pode ser interessante colocar mais de uma reta (ou outra figura) no mesmo comando

ParametricPlot3D[{{t,2*t,3*t},{t,2*t,-1*t}},{t,-2,2}]

Você reconhece bem quais são os dois segmentos na figura?

Fica claro que eles se cruzam em um ponto?

Que ponto é esse?

Outras Retas no espaço 3D

Podemos considerar que os exemplos acima foram os casos

u=0
v=0
w=0

do comando

ParametricPlot3D[{a*t+u,b*t+v,c*t+w},{t,-2,2}]

Qual o papel da tripla (u,v,w) no comando acima?
Por exemplo...

u=1
v=1
w=1

ParametricPlot3D[{a*t+u,b*t+v,c*t+w},{t,-2,2}]

Talvez seja mais fácil comparar fazendo:

ParametricPlot3D[{{a*t+u,b*t+v,c*t+w},{a*t,b*t,c*t}},{t,-2,2}]

Agora podemos dar um salto qualitativo importante, só mexendo um pouquinho nos nossos comandos.

ParametricPlot3D[{a*t+u*s,b*t+v*s,c*t+w*s},{t,-2,2},{s,-2,2}]

Será que variando os valores de (a,b,c) e (u,v,w) coseguimos todos os planos que moram no espaço 3D?

O material preparado para a aula termina aqui. Mas o seu estudo não!

A resposta da pergunta anterior é negativa. E um dos seus desafios e completar esse material.
O que está faltando?

Resolvida a questão acima, você pode se propor desafios geométricos mais interessantes: dados três pontos, A, B, C (ou seja, cada ponto desses corresponde a uma tripla de números), como descrever parametricamente o plano gerado por eles?

Para sermos mais precisos: como vai se manifestar a condição de esses três pontos não serem alinhados? O que acontece com a solução que você propôs se eles forem alinhados?