Ementa:

Ementa da premeira prova:
Anéis comutativos com identidade: ideais e operações com ideais, homomorfismos entre tais anéis e característica do anel. Ideais primos e maximais, radical de Jacobson e o Nilradical. Sistemas multiplicativos, localização e anéis locais. Módulos: submódulos, homomorfismos, módulos quocientes e teoremas do isomorfismo. Soma e produto direto. Localização de Módulos. Módulos finitamente gerados, livres, projetivos e lema de Nakayama. Módulos sobre domínios principais e seu teorema fundamental. Sequência exata de módulos e homomorfismos. Produto tensorial de módulos, e suas propriedades em relação a sequências exatas. Dependência Integral de extensões de anéis: definição e exemplos. Anéis integralmente fechados. Lema de Noether e os teoremas de going-up e going-down.

Ementa da segunda prova:
Condições de cadeias: Anéis e módulos noetherianos e artinianos. Decomposição primária de ideais em anéis noetherianos. Dimensão de Krull: definições de altura (co-altura) de ideal primo e da dimensão de Krull de um anel. Teoremas do ideal principal de Krull e sua generalização. R-álgebras comutativas finitamente geradas: Anel de polinômios em um número finito de variáveis sobre um anel R com sua graduação natural e R-álgebras finitamente geradas. Grau de transcendência de uma K-álgebra finitamente gerada, onde K é corpo. Teoremas de zeros de Hilbert e de normalização de Noether.

Bibliografia:

1. Texto: Introduction to Commutative Algebra - M.F. Atiyah and I.G. MacDonald - Addison- Wesley Publishing Company -1969.

2. Steps in Commutative Algebra, R. Y. Sharp- Cambridge University Press, 1990.

3. Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry - E. Kunz - Birkhauser-Boston - 1985.