Teoría Aritmética dos Números

MA 553: Teoría Aritmética dos Números

Horários/Salas:

  • Terça 08:00 - 10:00    PB08
  • Quinta 08:00 - 10:00  PB08

 

Ementa: 

 

Estruturas algébricas (operações binárias, grupos, anéis e corpos). Axiomas de Peano e construção do anel dos números inteiros e racionais. Outros exemplos de anéis e corpos (polinômios, corpos quadráticos, inteiros de Gauss, Zm). Domínios euclideanos. Representação de números inteiros em bases diversas. Máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum e o Algoritmo de Euclides. Elementos irredutíveis e primos e critérios de divisibilidade. Domínios principais, fatoriais e o teorema fundamental da aritmética. Equações diofantinas de grau um. Sistemas residuais, congruências lineares e o teorema chinês do resto. Os teoremas de Euler e Wilson. Congruências de grau dois, símbolos de Legendre e Jacobi e Lei da Reciprocidade Quadrática. Ternas pitagóricas e números que podem ser escritos como soma de dois quadrados. Equações diofantinas notáveis. Ordem multiplicativa e raízes primitivas. Noções de criptografia.

Programa:

  1. Números inteiros, divisibilidade e congruências
  2. Sistemas completos e reduzidos dos restos
  3. Congruências de grau um
  4. Teorema de Fermat, de Euler e aplicações
  5. Sistemas lineares de congruências, teorema chinês dos restos e aplicações
  6. Estruturas algébricas
  7. Equações diofantinas elementares, ternas de Pitágoras, a equação diofantina x^4+y^4=z^4
  8. Representação de números naturais como soma de quatro quadrados
  9. Congruências de grau dois, símbolo de Legendre
  10. Lei da reprocidade quadrática e aplicações
  11. Raíz primitiva
     

 

Referências:

  • Texto 1: José P. de Oliveira Santos, "Intoducão à Teoria de Números", Colecão Matemática Universitária, IMPA, 2003.
  •  Abramo Hefez, "Elementos de Aritmética", Textos Universitarios, SBM 2006.
  •  S.C. Coutinho, "Números Inteiros y Criptografia RSA", Série de Computacao e Matematica, IMPA, 1997.
  • G.E. Andrews, "Number Theory", Dover Publications, 1971.
  • S.Y. Kim, "An Elementary Proof of the Quadratic Reciprocity Law, American Mathematical Monthly 111, January 2004.
  • N. Koblitz, "A Course in Number Theory and Cryptography", Springer-Verlag, 1987.
  • I. Niven, H.S. Zuckerman e H.L. Montgomery, "An Introduction to the Theory of Numbers", fifth edition, Wiley, 1991.
  • O. Ore, "Number Theory and its History", McGRAW.HILL BOOK COMPANY, INC., 1948.
  • J.P. Serre, "A Course in Aritmetic", Springer-Verlag, 1973.
  • I.M. Vinográdov, "Fundamentos de la Teoría de los Números", Editorial MIR, 1977.
  • A. Weil, "Number Theory for Beginners", Springer-Verlag, 1979.

 

Avaliação:

  • Duas provas obrigatórias: P1, P2;
  • A nota final será N:=(P1+P2)/2;
  • Se N não é suficente, o aluno poderá fazer a segunda chamada P3 (tuda a materia,  somente se  2.5< N<5) e sua nota final será o max{N,F} onde F:=(N+P3)/2.

 

Calendário das Avaliações:

  • Primeira prova P1: 26/09
    Conteúdo: pontos 1,2,3,4, 5 e 9
  • Segunda prova P2:  Nao aplicamos

    Baseado com exercícios e atividade de aulas.


     

  • A segunda chamada: emtre 10-14/dezembro
    Conteúdo: tudo o curso.

 

Course Year: 
2023
Course Term: 
Second Term