Tira de Papel

	Produção: equipe do projeto PROIN/CAPES 98.
	Coordenadora: Vera L.X. Figueiredo
	Professoras: Margarida P. Mello e Sandra A. Santos
	Alunos: Renato Cantão e Rodrigo Portugal

Palavras-chave: limite, seqüência, dobradura.

Cortando-se uma tira longa de papel, como as tiras de máquinas de calcular, na proporção de 5cm de largura e 50 cm de comprimento, podemos construir um processo limite dobrando-se ângulos sucessivamente da seguinte forma:

Iniciamos com uma dobra arbitrária, que faz um ângulo com a borda da tira. Este ângulo se reproduz na outra borda (são alternos internos). Se tomarmos o suplemento de , isto é, , e dobrarmos a tira de papel exatamente na bissetriz deste ângulo, obtemos .

Prosseguindo com esta idéia de sempre dobrar a tira na bissetriz do ângulo delimitado pela última dobra, percebemos que a seqüência de triângulos com base sob as bordas da tira e lados criados pelas dobraduras rapidamente converge, pelo menos do ponto de vista visual, para triângulos equiláteros. Na figura a seguir ilustramos o processo limite.

Animação em vídeo

Para avaliarmos numericamente a seqüência produzida, vejamos o valor esperado para o ângulo limite, com 18 dígitos corretos, e observemos a tabela a seguir,  que exibe na primeira coluna o valor do ângulo e, na segunda coluna, a diferença . Notamos que a seqüência converge para alternadamente, isto é, seus valores se aproximam do esperado  por cima e por baixo e isso pode ser visualizado no gráfico abaixo da tabela.

k
1	2.41660973353060981	1.36941218233401218
2	0.36249146002959165	-0.684706091167005936
3	1.38955059678010073	0.342353045583503101
4	0.876021028404846191	-0.171176522791751439
5	1.13278581259247346	0.0855882613958758398
6	1.00440342049865982	-0.0427941306979378044
7	1.06859461654556664	0.0213970653489690132
8	1.03649901852211323	-0.0106985326744843955
9	1.05254681753383994	0.00534926633724230882
10	1.04452291802797647	-0.00267463316862115441
11	1.04853486778090831	0.00133731658431068822
12	1.04652889290444228	-0.000668658292155344113
13	1.04753188034267541	0.000334329146077783079
14	1.04703038662355885	-0.000167164573038780517
15	1.04728113348311713	0.0000835822865195012809
16	1.0471557600533381	-0.0000417911432595285958
17	1.0472184467682275	0.0000208955716298753202
18	1.04718710341078269	-0.0000104477858149376601
19	1.04720277508950521	5.22389290757985236-6