MA044 - Análise Complexa
IMECC - UNICAMP
Primeiro semestre de 2023
Responsável: Mahendra Panthee
Contato: mpanthee at ime.unicamp.br
IMECC Sala 309, www.ime.unicamp.br/~mpanthee
Aviso:
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Neste curso seguiremos as matérias para cobrir a ementa oficial que se encontra no catalogo, viz.,
Números complexos. Funções de variável complexa. Equações de Cauchy-Riemann. Integral de linha. Sequências e séries de números complexos. Séries de potências. Teorema dos resíduos. Transformações conformes.
Conteúdo / Programa:
Números complexos. Definição, argumento de um número complexo, forma polar de um número complexo, complexos conjugados, raízes n-ésimas de um número complexo, fórmula de De Moivre, os números complexos e a geometria analítica, projeção estereográfica.
Funções de uma variável complexa. Topologia no plano complexo, função de uma variável complexa, ramificações, limites de uma função de uma variável complexa, propriedades dos limites, continuidade, a derivada de uma função complexa de uma variável complexa, fórmulas de derivação.
Funções analíticas. Definição, equações de Cauchy-Riemann, condições suficientes, aplicações das equações de Cauchy-Riemann, funções harmônicas, harmônicas conjugadas, polinômios, funções racionais.
Funções complexas elementares. Função exponencial, funções trigonométricas, funções hiperbólicas, a função logarítmica complexa, ramos da função logaritmo, propriedades dos logaritmos complexos, expoentes complexos, funções trigonométricas inversas.
Integral complexa. Integrais definidas, curvas no plano complexo, integrais de linha, primitivas, teorema de Cauchy-Goursat, domínios simplesmente conexos e multiplamente conexos, fórmula integral de Cauchy, teorema de Morera, teorema de Liouville, teorema do módulo máximo, teorema fundamental da álgebra.
Seqüências e séries de números complexos. Seqüências convergentes e divergentes, séries convergentes e divergentes, critérios de convergência.
Séries de potências. Definição, convergência absoluta, convergência uniforme, integração e derivação de séries de potências, teorema de Abel, séries de Taylor, séries de Laurent, zeros de funções analíticas.
Teoria dos resíduos. Singularidades de uma função complexa, ponto singular isolado, ponto singular removível, pólos, resíduos, teorema dos resíduos, cálculo de integrais reais com aplicação de resíduos, princípio do argumento, teorema de Rouché.
Transformações. Transformações elementares, transformação linear fracionária, transformação conforme.
Referência Bibliográfica:
James Ward Brown and Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, Eighth Edition, McGraw-Hill (2009)
L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill
Murray R. Spiegel, Teoria e Problemas de Variáveis Complexas,Coleção Schaum, McGraw-Hill
Chaim S. Hönig, Introdução às Funções de uma Variável Complexa, 4ª ed., Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1981. 168 pp.
Exercícios indicados (listas de exercícios):
Exercícios do livro-texto 1 e
Listas entregues nas aulas ou postadas no site ocasionalmente.
Avaliação
A
avaliação do curso será baseada em três
provas (P1, P2, e P3). A média semestral (MS)
será obtido pela média de P1, P2 e P3. O aluno
que obtiver MS maior do que ou igual a 5,0 será
considerado aprovado e MS = MF (média final) será a sua
nota final. Caso contrário, haverá um Exame e a nota
final será: MF = (MS + EF)/2, onde EF é a nota do exame
final. O aluno será considerado aprovado se MF for maior do
que ou igual a 5,0.
Não haverá reposição de prova em caso de falta a qualquer prova. O não comparecimento a uma prova significa nota zero nessa prova. Haverá uma prova de "Segunda chamada" para os alunos que tenham perdido, por motivo justificado, uma das três provas. O aluno que perder uma prova, por motivo justificado, deve procurar imediatamente o professor e apresentar a justificativa mediante um formulário que se encontra na secretaria de graduação. Caso o professor aceite a justificativa o aluno fará a segunda chamada. A nota da segunda chamada substituirá a nota da prova perdida pelo aluno. A prova de Segunda Chamada e o Exame versarão sobre o conteúdo integral da disciplina.
Observação: Somente os alunos com as notas 2,5 =< NA < 5 serão admitidos para o exame final.
Datas das Provas:
Primeira Prova: 10 de Abril / Notas
Segunda Prova: 15 de Maio / Notas
Terceira Prova: 19 de Junho / Notas
Exame Final/Segunda Chamada: 10 de Julho / Notas