%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0

\documentclass[thmsa,11pt]{article}
\usepackage[portuguese]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{TCIstyle=article/art4.lat,lart,article}
%TCIDATA{CSTFile=article.cst}
%TCIDATA{Created=Tue Jan 16 17:54:47 2001}
%TCIDATA{LastRevised=Sun Feb 16 19:37:46 2003}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
\setlength{\textheight}{19.5cm}
\newtheorem{teorema}{Teorema}[subsection]
\newtheorem{obs}[teorema]{Observa\c{c}\~{a}o}
\newtheorem{defini}[teorema]{Defini\c{c}\~{a}o}
\newtheorem{prop}[teorema]{Proposi\c{c}\~{a}o}
\newtheorem{corolario}[teorema]{Corol\'{a}rio}
\newtheorem{lema}[teorema]{Lema}
\newtheorem{exercicio}[teorema]{Exerc\'{i}cio}
\newenvironment{demons}{\noindent{\bf Demonstra\c{c}\~ao:} }{\hfill $\Box$ \newline}
\newenvironment{demonsembox}{\noindent{\bf Demonstra\c{c}\~ao:} }{}
\newenvironment{exemplos}{\noindent {\bf Exemplos:} }{\hfill $\Box$ \newline}
\newenvironment{exemplo}{\vspace{12pt} \noindent{\bf Exemplo:} }{\hfill $\Box$ \newline}
\newenvironment{exemplosembox}{\vspace{12pt} \noindent {\bf Exemplos:} }{}
\newenvironment{demdoteo}{\noindent {\bf Demonstra\c{c}\~{a}o do Teorema}}{\hfill $\Box$ \newline}
\newenvironment{demdolem}{\noindent {\bf Demonstra\c{c}\~{a}o do Lema}}{\hfill $\Box$ \newline}
\newcommand{\adj}{\mathop{\rm ad}\nolimits}
\newcommand{\diag}{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\newcommand{\esseo}{\mathop{\rm SO}\nolimits}
\newcommand{\gera}{\mathop{\rm ger}\nolimits}
\newcommand{\ident}{\mathop{\rm id}\nolimits}
\newcommand{\imag}{\mathop{\rm im}\nolimits}
\newcommand{\partre}{\mathop{\rm Re}\nolimits}
\newcommand{\partim}{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\newcommand{\trac}{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\hyphenation{con-si-de-ran-do-se ca-sa}


\begin{document}


\author{Nome e RA}
\title{Lista 1 - Exerc\'{i}cio 1.a}

\maketitle

\begin{exercicio}
Se $a+b=a+c$ ent\~{a}o $a=c$.
\end{exercicio}

\begin{demons}

Dado $a\in\mathbb{R}$, o Axioma  \textbf{S4} garante a
exist\^{e}ncia de inverso aditivo $-a$. Sejam $d,e\in\mathbb{R}$
dois n\'{u}meros iguais. Ent\~{a}o, dado $c\in\mathbb{R}$ qualquer,
substituindo $d$ por $e$ temos que $d+c=e+c$. Assim, como estamos
assumindo por hip\'{o}tese que $a+b=a+c$, temos que
$(-a)+(a+b)=(-a)+(a+c)$. Usando a propriedade associativa (Axioma
\textbf{S1}) obtemos que $(-a)+(a+b)=((-a)+a)+b$ e
$(-a)+(a+c)=((-a)+a)+c$, ou seja, $((-a)+a)+b=((-a)+a)+c$. Mas, pela
defini\c{c}\~{a}o de $-a$ temos que $(-a)+a = 0$ e substituindo em
ambos os termos da igualdade anterior, obtemos que

\begin{equation}
0+b=0+c. \label{eq1}
\end{equation}

 Mas como $0$ \'{e}, por defini\c{c}\~{a}o o elemento neutro da soma, temos que
$0+b=b$ e $0+c=c$ donde segue pela igualdade ($\ref{eq1}$) que
$b=c$.

\end{demons}


\end{document}
