Resolva o exercício abaixo, ele não é difícil e você poderá fazê-lo sem muitos cálculos:

1 - Imagine a seguinte situação: seu tio quer cortar a grama de um terreno de 1600 m2 e para isso vai contratar cortadores de grama profissionais. Cada cortador consegue cortar, em média, 400 m2 em um único dia. Com base nessas informações, responda: a) Se seu tio contratar apenas um cortador de grama profissonal, quanto tempo ele levará para cortar toda a grama? R: dias b) E se ele contratasse dois? R: dias c) E se contratasse quatro? R: dias

Agora vamos analisar melhor esse exercício.

Primeiramente, vamos plotar os pontos desse exercício no plotador abaixo, para isso chame de X o número de cortadores contratados e de Y o número de dias necessários para cortar toda a grama.



Facilmente você percebe pelo gráfico que não se trata de uma relação de proporcionalidade direta, uma vez que não se trata de uma reta. Mas vamos agora mais além, preencha a tabela abaixo com os valores calculados no exercício afim de procurarmos por mais relações entre esses números.

Cortadores de grama	Dias gastos no corte
1
2
4

Se tentarmos calcular o valor de K (constante de proporcionalidade) da maneira que fizemos na unidade de Proporções Diretas , veja em que chegamos:

Para 1 cortador, temos:

K = Y/X
K = 4/1 = 4

Para 2 cortadores, temos:

K = Y/X
K = 2/2 = 1

O fator de o valor de K ser diferente nesses dois casos já nos serve de prova para concluírmos que não se trata de uma relação de proporção direta (se desejar, calcule o valor de K para o terceiro caso resolvido).

Mas por outro lado, verifique o que ocorre quando multiplicamos o valor de X pelo seu Y correspondente e anote suas conlcusões no espaço abaixo:

Conclusão

Esse propriedade (a multiplicação de X por Y ser uma constante) caracteriza um outro tipo de relação de proporção a qual chamamos de Relação de Proporção Inversa. Vamos falar um pouco mais sobre ela abaixo:

O nome
O termo inversa, no lugar de direta que tínhamos na unidade passada se deve ao fato de que, agora, quando aumentamos o valor de X diminuímos o valor de Y, enquanto que anteriormente quanto maior fosse o valor de X maior seria o valor de Y (você poderá observar melhor essa propriedade mais a frente).

A definição

PROPORCIONALIDADE INVERSA Dizemos que duas grandezas X e Y são proporcionais quando podemos escrever a relação entre elas na forma Y=K.X, onde Y e X são chamadas de variáveis <\i>(pois os valores que assumem variam) e K é chamada constante <\i>(pois assume um único valor).

A fórmula
Como vimos anteriormente, a multiplicação de Y por X é uma constante em toda relação de proporcionalidade inversa, vamos chamar essa constante de C, e então temos:

Y . X = C dividindo ambos os lados por X, chegamos a: Y = C / X

Observe que X aparece dividindo a constante, se estivesse multiplicando tratar-se-ia de uma proporção direta.

Última observação
Uma carcterística da proporcionalidade inversa é que nela enquanto uma grandeza aumenta (o número de cortadores de grama, no nosso caso) o outra diminui (o tempo gasto). O mesmo não ocorre na proporcionalidade direta, onde as duas grandezas crescem juntas.

Façamos agora alguns exercícios para conhecermos e dominarmos melhor esse novo conceito:

1- Uma turma de 36 alunos quer comprar um presente para a professora de matemática no valor de R$ 12,00. Inicialmente não foram todos os alunos que concordaram em presentear a professora. Pergunta-se: a) Se apenas 3 alunos participarem da vaquinha, quanto cada um deverá dar para comprar o presente? R: reais b) E se forem apenas 4? R: reais c) E se forem apenas 6? R: reais d) E se forem apenas 8? R: reais e) Plote os pontos calculados no plotador abaixo, chamando de X o número de alunos e de Y o valor que cada um deve pagar. 2-As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais e a constante C dessa relação é o espaço a ser percorrido, ou seja, velocidade = espaço / tempo. Um dos tipos de Rally existente é o de regularidade, onde um dos quesitos para se vencer a prova é completá-la com o tempo mais próximo possível do estipulado pelos organizadores, ou seja, não vence o mais rápido, mas o que melhor administrar seu tempo. a) O Rally Paris-Dakar é um rally de regularidade, e um dos trechos de 1060 km deve ser cumprido em um dia (24 horas). Qual a velocidade média que o competidor deve imprimir durante o percurso para terminá-lo em 24 horas? R: km/h b) Em quanto tempo um competidor termina esse percurso se desenvolver uma velocidade média de 60 km/h ? R: horas

Nem tudo que diminui é inversamente proporcional!

Veremos a seguir alguns exemplos de relações inversamente proporcionais e não proporcionais. Acompanhe com atenção os exemplos abaixo:

Exemplo 1

Um químico montou seu aparato de laboratório para realizar uma reação na qual um dos reagentes é o ácido sulfúrico. O seu objetivo é determinar a quantidade de ácido sulfúrico em um certo momento. Os valores coletados por ele durante os primeiros cinco minutos de experimento estão na tabela abaixo:

Quantidade de ácido sulfúrico (g)	Tempo transcorrido (min.)
8,5	1
7,0	2
5,5	3
4	4

Primeiramente, plote os pontos indicados na tabela no plotador abaixo.



Observando o gráfico e comparando-o com os outros dois que você já fez, você é capaz de dizer se se trata de uma relação de proporcionalidade inversa ou não? Porquê?

Resposta

Agora vamos confirmar nossa conclusão verificando o valor da constante C:

Sabemos que C = Y / X, só nos basta calcular C para algumas linhas da tabela de valores:

Primeira linha: C = 8,5 x 1 = 8,5
Segunda linha: C = 7 x 2 = 14
Terceira linha: C = 5,5 x 3 = 16,5
e assim por diante...

Ou seja, não se trata mesmo de uma relação de proporcionalidade inversa. Não é necessário verificar se se trata de uma relação de proporcionalidade direta, pois a quantidade de ácido sulfúrico diminui com o passar do tempo.

Exemplo 2

Quando se aposta na loteria federal, o apostador pode ganhar todo o prêmio sozinho ou ter que dividí-lo com outras pessoas que também acertem a seqüência.

a) Certa vez, houveram 3 ganhadores, e cada um recebeu 4,2 milhões. Quanto um apostador ganharia se fosse o único acertador?

Como cada um ganhou 4,2 milhões, nos basta fazer 4,2 x 3 para descobrirmos o prêmio total, ou seja, 12,6 milhões.

b) Se dois apostadores acertassem a seqüência, quanto cada um receberia?

Basta dividir o prêmio total por 2, ou seja, cada um receberia 6,3 milhões.

c) Agora calcule no seu caderno quanto cada pessoa receberia se houvessem mais acertadores. Calcule para 4, 6, 8 e 12 acertadores e marque os pontos no plotador a baixo chamando o número de acertadores de X e o prêmio de cada de Y.



Observe que, por mais apostadores que acertem, o prêmio nunca será zero. O mesmo raciocínio podemos fazer acerca do exercício sobre a compra do presente para a professora, por mais alunos que participassem da vaquinha a contrinuição de cada um nunca será zero.

Numa relação de proporcionalidade inversa a grandeza que decresce nunca chegará a zero.

Para terminar, resolva os três exercícios abaixo:

1- Para alugar um ônibus para realizar uma excursão para o Zoológico de São Paulo, a escola deve pagar um total de R$ 480,00 para a empresa responsável pelo transporte. Essa quantidade será dividida pelos alunos que participarão da excursão. a) Quanto cada aluno deve pagar se viajarem 32 alunos? R: horas b) E se viajarem 40 alunos? R: horas c) Qual o valor da constante C dessa relação? R: horas d) Quantos alunos devem viajar para que cada um pague R$ 10,00 ? R: horas Observe que o valor de C na questão anterior é o valor total a ser pago, tendo isso em mente, resolva os próximos exercícios 2- A minha avó, no primeiro dia do ano, divide 40 reais entre os netos presentescomo "Bom Princípio de Ano Novo". Quanto mais netos presentes, menos dinheiro cada um recebe. a) Trata-se de uma relação direta ou inversamente proporcinal? Por quê? Resposta b) Qual o valor da constante C ou K para esse caso? R: horas c) Nesse ano foram 8 netos. Quanto cada um recebeu? R: horas 3- Após realizar um experimento repetidas vezes, um químico descobriu que a relação entre o quantidade de um reagente em uma reação e o tempo passada desde o início desta é dada pela seguinte fórmula: Q = 4 / t, onde Q é a quantidade de reagente em gramas e t o tempo transcorrido em minutos. a) Monte um gráfico com a concentração do reagente no eixo Y e o tempo no eixo X. Para fazer isso, utilize vários valores de tempo e calcule a quantidade equivalente pela fórmula. Utilize, ao menos, os seguintes tempos: 12, 8, 4, 1 e 0,5 minutos. b) Quanto tempo devemos esperar para que a quantidade do reagente em questão seja de 0,5 gramas? R: horas

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