Representação de Weierstrass e o Problema de Björling

Adriana Araujo Cintra

A fórmula da representação de Weierstrass têm um dupla importância, por um lado é uma grande ferramenta para a produção de exemplos de imersões mínimas, mas por outro lado permite o uso da teoria de funções holomorfas para investigação de propriedades estruturais de superfícies mínimas. Um exemplo de aplicação dessa fórmula é o Teorema de Björling que afirma que dada uma curva real analítica $\beta: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}^3$ e um campo de vetores analítico unitário $\xi$ ao longo de $\beta$ então existem $\epsilon > 0$ e uma imersão mínima $f:(0,1)\times(-\epsilon, \epsilon)$ tal que $f(t,0) = \beta(t)$ e $\xi$ é normal a $f$ ao longo de $\beta$. Além disso, duas tais imersões coincidem ao longo da intersecção de seus domínios. Nessa apresentação discutiremos a fórmula da representação de Weierstrass para variedades Lorentzianas e o problema de Björling para superfícies do tipo tempo em Grupos de Lie Lorentzianos tridimensionais.

Intervalos de previsão bootstrap em modelos de volatilidade multivaridos DCC-GARCH

Carlos César Trucíos Maza

A previsão de valores é um dos principais objetivos na análise de séries temporais e é de interesse em muitas áreas de conhecimento tais como economia, finanças, produção, previsão de vendas, etc. Sua importância provém do fato de ser vantajoso conhecer a evolução das séries no futuro. Geralmente, estas previsões são feitas em termos de previsão pontual, mas segundo alguns autores a previsão por intervalos é ainda mais importante. Autores de livros sobre análise de séries temporias e previsão geralmente dedicam pouca atenção à previsão por intervalos e sobre como calculá-los. Em geral, intervalos de previsão são calculados sob a suposição de que o modelo é conhecido e tem distribuição normal nas perturbações, sob estas suposições, intervalos de previsão podem ser facilmente obtidos conhecendo a média e o desvio padrão. Características nas séries temporias financeiras fazem com que a abordagem usual não seja adequada. Uma alternativa para este problema é obter intervalos de previsão utilizando procedimentos bootstrap, os quais não precisam da escolha de uma distribuição para as perturbações e não assume que os parâmetros sejam conhecidos. Intervalos de previsão em vários modelos têm sido abordados utilizando procedimentos bootstrap, alguns destes modelos são os ARIMA, ARFIMA, GARCH, EGARCH, GJR-GARCH, entre outros.
Entretanto, intervalos de previsão em modelos de volatilidade multivariados tem sido muito escassos. Neste trabalho é apresentado um algoritmo baseado em procedimentos bootstrap para obter intervalos de previsão para os retornos, volatilidades e covariâncias nos modelos de volatilidade multivariados DCC-GARCH (Dynamic conditional correlation GARCH). O modelo DCC-GARCH é amplamente utilizado para analisar séries multivariadas de retornos e os trabalhos sobre previsão focam seu esforço na previsão pontual.
O desempenho do algoritmo proposto tem sido avaliado utilizando simulações e este tem mostrado um bom desempenho tanto para retornos quanto para volatilidades e covariâncias. O algoritmo e os principais resultados são apresentados e alguns tópicos relacionados são discutidos.

Bayesian augmented mixed beta regression models

Diana M. Galvis

Clinical studies often generate proportion data where the response of interest is continuous and confined in the interval $(0,1)$, such as percentages, proportions, fractions and rates (Kieschnick et al., 2003). In that sense, the Beta density (Johnson et al., 1994) is extremely flexible, can take on a variety of shapes, and accounts for the heteroscedasticity, non-normality, and skewness in the data. The Beta regression (BR) model consider a specific re-parametrization of the associated Beta density parameters, and connects the covariates with the mean and precision of the density through appropriate link functions. Despite its versatility, its potential is limited for proportion responses with support in $(0,1)$.
However, in practical situations it is possible to observe proportions in the interval $[0,1]$. In that sense, a transformation that consist in re-scaling of the data from $[0,1]$ to the interval $(0,1)$ was proposed by Smithson and Verkuilen (2006), although various limitations are observed. Adhoc re-scalings might provide a nice working solution for small proportions of 0's and 1's, sensitivity towards parameter estimation can be considerable with higher proportions. Hence, from a practical perspective, there is a necessity to seek an appropriate theoretical model that avoids data transformations, yet capable of handling the challenges the data presents. This inefficiency is only escalated due to the presence of additional clustering in the data, as in our case. To circumvent this, we propose an efficient generalized linear mixed model (GLMM) framework by augmenting the probabilities of occurrence of zeros and ones to the BR model via a zero-and-one-augmented Beta (ZOAB) random effects (ZOAB-RE) model, that can accommodate the subject-level clustering.
Therefore, our proposition `augments' point masses at zero and one to a continuous (Beta) density that does not include zero and one in its support in a similar spirit of Hatfield et al.(2012). In addition, following the pioneering work of Cook(1986), we develop case-deletion and local influence diagnostics to assess the effect of outliers on the parameter estimates. Our approach is Bayesian, with the ability to borrow information across various stages of the complex model hierarchy, and produces a computationally convenient framework amenable to available freeware like $\text{WinBUGS}$.

A Fórmula de Russo para o Modelo de Entrelaçamentos Aleatórios

Diego Fernando de Bernardini

O modelo de entrelaçamentos aleatórios foi introduzido por Alain-Sol Sznitman, e é basicamente definido através de um processo pontual de Poisson em um espaço de trajetórias duplamente infinitas em $\mathbb{Z}^d$, com dimensão $d\geq 3$. Este modelo possui também um parâmetro positivo $u$, regulando a quantidade de trajetórias que fazem parte da configuração que representa a realização do processo, de tal forma que quanto maior for o valor de $u$, maior se espera que seja a quantidade de trajetórias observadas.
Mais especificamente, denote por $G$ um subconjunto finito de $\mathbb{Z}^d$ (com $d\geq 3$) e por $\{X_n, n\geq 0\}$ um passeio aleatório simples em $\mathbb{Z}^d$, e considere o tempo de parada $$H_G=\min\{n\geq 1 : X_n\in G\},$$ que representa o tempo de retorno ao conjunto $G$, pelo passeio aleatório. Considere ainda a medida de equilíbrio (ou medida harmônica) $$e_G(x)= P_x(H_G=\infty){\bf 1}_{\{x\in G\}}, \mbox{ para } x\in \mathbb{Z}^d,$$ onde $P_x$ representa a lei do passeio aleatório simples iniciando em $x$, e denote por $\mathop{\mathrm{cap}}(G)$ a capacidade do conjunto $G$, $$\mathop{\mathrm{cap}}(G)= \displaystyle\sum_{x\in\mathbb{Z}^d}e_{G}(x).$$ No modelo de entrelaçamentos aleatórios restrito à $G$ (no nível $u$), trajetórias de passeios aleatórios simples independentes são iniciadas na fronteira de $G$, sendo que os pontos de onde se iniciam as trajetórias destes passeios são escolhidos aleatoriamente na fronteira de acordo com a medida de equilíbrio (ou harmônica) normalizada $$\bar{e}_G(x) = \frac{e_G(x)}{\mathop{\mathrm{cap}}(G)}, \mbox{ para } x\in \mathbb{Z}^d,$$ e a quantidade de tais trajetórias de passeios aleatórios possui uma distribuição Poisson com parâmetro igual a $u\mathop{\mathrm{cap}}(G)$.
Na teoria de percolação, a fórmula de Russo é bem conhecida, e estabelece uma expressão para a derivada da probabilidade de eventos crescentes naquele modelo. Neste trabalho, estabelecemos expressões para a derivada (com respeito à $u$) da probabilidade de eventos crescentes com relação ao processo de entrelaçamentos aleatórios, caracterizando assim aquilo que chamamos de fórmula de Russo para os entrelaçamentos aleatórios.

Ciclos limites de equações diferenciais via método "averaging"

Douglas Duarte Novaes

O conhecimento da existência ou da não existência de ciclos limites, de uma dada equação diferencial, é muito importante para a compreensão qualitativa da sua dinâmica.
Existem poucas técnicas que permitem o estudo de ciclos limites (existência e estabilidade). Uma dessas técnicas é o método "averaging".O método "averaging" é uma técnica clássica e bem amadurecida no estudo da dinâmica de equações diferenciais não lineares. Utilizando-se ferramentas topológicas o método ``averaging'' foi estendido para o estudo de equações diferenciais contínuas não diferenciáveis. Mais recentemente o mesmo método foi estendido para o estudo de equações diferenciais descontínuas.
Nesta apresentação iremos considerar a seguinte equação diferencial não autônoma:
$$\begin{equation}\tag{1}\dot{x}=\varepsilon F_1(t,x)+\varepsilon^2 R(t,x,\varepsilon),\end{equation}$$ onde
$F_1:\mathbb{R}\times D\rightarrow\mathbb{R}^n$, $R:\mathbb{R}\times D\times(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\rightarrow \mathbb{R}^n$ são funções contínuas, $T$--periódicas em $t$, $D$ é um subconjunto aberto de $\mathbb{R}^n$ e $\varepsilon_0 > 0$ é um parâmetro pequeno. Chamamos de sistema promediado a seguinte equação diferencial autônoma: $$\begin{equation}\tag{2}\dot z=\int_0^T F_1(z,s)ds.\end{equation}$$ Desenvolveremos, então, o método "averaging" para a equação diferencial não autônoma (1). Tal método tem por objetivo associar a cada ponto crítico hiperbólico do sistema promediado (2), um ciclo limite da equação diferencial (1)

Aproximação Adaptativa

Gilcelia Regiane de Souza

O presente trabalho se enquadra na área de Análise Numérica, com enfoque em técnicas modernas de aproximação para funções em domínios multidimensionais que requerem resolução espacial adaptativa.
A aproximação de uma função pode ser desejável por diversos motivos, incluindo eficiência computacional, considerações teóricas sobre a grandeza física representada pela função, ou pelo fato dela ser conhecida apenas parcialmente. Espera-se que as funções aproximadoras pertençam uma classe mais simples e sejam mais fáceis de calcular e manipular, por derivadas, integrais, etc.

Aproximações Adptativas
Muitas vezes, a função a aproximar é praticamente nula em grande parte do domínio. Nestes casos, a base de aproximação não precisa cobrir uniformemente todo o domínio; podemos usar apenas os elementos da base que afetam as regiões onde a função é significativamente diferente de zero, com economia de espaço e tempo de processamento. Chamaremos as estratégias para escolher esses elementos de esquemas adaptativos de aproximação. (Ao contrário de muitos autores, nosso uso do termo `adaptativo' não implica o uso de elementos de escala diferentes).

Aproximações multiescala
Nas ciências naturais e nas engenharias, é comum encontrar funções em que detalhes de tamanhos diferentes têm causas, efeitos ou relevâncias diferentes. Por exemplo, a forma da superfície da Terra tem detalhes de dezenas de quilômetros (montanhas) devidos ao movimento de placas tectônicas, e detalhes de centenas ou dezenas de metros devidos principalmente à erosão. Usualmente, a modelagem computacional de tais fenômenos requer soma de várias aproximações, onde cada aproximação (nível) captura detalhes significativos de um certo tamanho.

Aproximação multiescala adptativa
A abordagem multiescala pode ser combinada com esquemas de aproximação adaptativa, onde em cada nível a função a aproximar é a parte da função original que não pôde ser aproximada pelos níveis anteriores. Estes esquemas de aproximação multiescala adaptativa permitem obter aproximações eficientes para funções que são suaves na maior parte do domínio, mas tem descontinuidades ou outros detalhes significativos não suaves em regiões limitadas do mesmo. Nesses casos, o comportamento geral da função pode ser aproximado nos níveis mais grosseiros com bases pequenas, e os detalhes e descontinuidades são representados nos níveis mais finos, com elementos colocados apenas nas regiões onde esses aparecem.
Aproximações multiníveis adaptativas também são indicadas quando a função objetivo é amostrada com densidades bem diferentes em diferentes partes do domínio. Nesses casos, a aproximação fica numericamente instável se numa região do domínio houver mais elementos da base do que pontos de amostragem.

Sobre a construção e a qualidade de modelos esparsos de interpolação quadrática em problemas de otimização irrestrita sem derivadas

Ivan X. M. Nascimento

Métodos de região de confiança formam uma classe de algoritmos amplamente utilizada em problemas de programação não linear. A principal ideia por trás desses métodos iterativos é otimizar um modelo aproximador da função objetivo em uma região em torno do ponto corrente. Espera-se, portanto, que esse modelo represente suficientemente bem a função original naquela região (de confiança) e, ao mesmo tempo, que a tarefa de otimizá-lo seja mais fácil do que o problema original.
Adicionalmente, em diversas aplicações práticas de otimização, as derivadas da função objetivo não estão disponíveis ou são imprecisas. Com o avanço da capacidade computacional de simulação de sistemas, vem se tornando cada vez mais comum a necessidade de se otimizar sistemas complexos, nos quais a função objetivo pode ser resultado desse processo de simulação. Dessa maneira, não podemos basear nosso método em modelos do tipo de Taylor, amplamente usados em otimização com derivadas.
Por outro lado, a adoção de métodos de aproximação de derivadas, como diferenças finitas, não é apropriada devido ao alto custo de se avaliar a função objetivo ou à presença de ruídos nas medidas. Portanto, uma boa alternativa é utilizar modelos de interpolação quadráticos, que conseguem captar curvaturas de funções sem dificultar a otimização.
Nesse cenário, o custo de avaliar a função objetivo passa a ser mais relevante que o custo computacional da álgebra linear envolvida no algoritmo. Com isso, queremos que o modelo de interpolação seja construído com base num conjunto amostral de pontos de menor cardinalidade possível, o que nos conduz aos modelos de interpolação subdeterminada.
Seja qual for o tipo de interpolação adotada para construir os modelos, é preciso desenvolver técnicas que garantam que os modelos construídos representem suficientemente bem a função objetivo na região de confiança. Isto equivale, essencialmente, a cuidar da geometria dos pontos amostrais. A medida quantitativa mais adotada para o que chamamos aqui de "geometria" é o "posicionamento" (poisedness) do conjunto amostral.
Em um trabalho recente, Scheinberg e Toint mostraram que sem esse cuidado com o posicionamento dos pontos de interpolação completa não se pode garantir a convergência do método. Nele, os autores investigam um mecanismo de autocorreção dessa geometria e discutem maneiras econômicas de assegurar teoricamente a convergência em um número finito de iterações. Como produto do artigo, é apresentado um algoritmo que consegue manter o posicionamento dos pontos controlado, lançando mão de um teste de criticalidade e através do auxílio dos polinômios de Lagrange.
Por outro lado, Bandeira, Scheinberg e Vicente propõem que os modelos de interpolação subdeterminada sejam escolhidos de forma a minimizar a norma de suas Hessianas. Neste trabalho, os autores relacionam o uso da norma $\ell_1$ á área de compressed sensing e à esparsidade das Hessianas do problema. Baseado nisso, desenvolvem um algoritmo que, de acordo com os testes apresentados, obteve resultados que superaram os do algoritmo NEWUOA, o estado-da-arte da área de otimização irrestrita sem derivadas.
No presente trabalho, vamos implementar e testar um algoritmo que acrescenta o controle do posicionamento dos pontos via polinômios de Lagrange e o teste de criticalidade, propostos por Scheinberg e Toint, ao algoritmo de Bandeira et al. que utiliza modelos com Hessiana de norma de Frobenius mínima. Paralelamente, vamos discutir a extensão do conceito de posicionamento para o caso de modelos com Hessiana norma $\ell_1$ mínima.
Estamos atualmente validando e concluindo a implementação. Uma vez com os resultados em mãos, poderemos comparar o custo-benefício da inserção do controle da geometria dos pontos com os excelentes resultados de Bandeira et al., que não contempla essa abordagem. Além disso, analisaremos as dificuldades relacionadas à extensão do conceito de posicionamento para o caso da norma $\ell_1$ e possíveis formas de amenizá-las.

Estabilidade estrutural local de campos de vetores suave por partes

Jesus Achire

Recentemente, a teoria de campos descontínuos (non-smooth dynamic systems) tem-se desenvolvido rapidamente, motivado principalmente pelas aplicações na física e nas engenharias, e também pela atraente beleza matemática.
Neste trabalho, consideraremos campos de vetores suaves por partes, denominados campos de Filippov, e usamos o método convexo de Filippov para definir órbita solução deste tipo de campo. Órbitas soluções sempre existem e são bem definidos. Há duas principais diferenças com o clássico caso contínuo: a primeira é que as órbitas no caso descontínuo são curvas suaves por partes, enquanto que no caso contínuo são curvas suaves. A segunda é que as órbitas não tem a propriedade da unicidade, ou seja, podem existir duas ou mais órbitas passando pelo mesmo ponto. São esses fatos que fazem essa teoria um pouco diferente da teoria clássica de campos diferenciáveis.
Estamos interessados em estudar qualitativamente os campos de Filippov, especialmente os que são genéricos e estruturalmente estáveis. Assim, descrevemos propriedades genéricas necessárias para um campo de Filippov ser localmente estruturalmente estável, e particularmente analisamos estabilidade estrutural local de singularidades tangenciais tais como a dobra-dobra e a dobra-cúspide, pseudoequilíbrios e órbitas fechadas, baseados nos artigos da referência.

Kelly Marques de Oliveira Lopes

O desenvolvimento de estudos na área de geotecnologia e o aumento na capacidade de armazenar dados têm melhorado a exploração e os estudos de imagens de satélites obtidas através de sensores orbitais. O mapeamento da cobertura da terra, estimativas de produtividade de culturas e a previsão de safras são informações importantes para o agricultor e para o governo, pois essas informações são essenciais para subsidiar decisões relacionadas à produção, estimativas de compra e venda, e cálculos de importação e exportação. Uma das alternativas para analisar dados de uso e cobertura da terra, obtidos por meio de sensores, é o uso de técnicas de mineração de dados, uma vez que essas técnicas podem ser utilizadas para transformar dados e informações em conhecimentos que irão subsidiar decisões relativas ao planejamento agrícola. Neste trabalho, foram utilizados dados multitemporais sobre o índice de vegetação NDVI, derivados de imagens do sensor MODIS, para o monitoramento das culturas de algodõ, soja e milho no estado do Mato Grosso, no período do ano-safra de 2008/2009. O conjunto de dados, fornecido pela Embrapa Informática Agropecuária, foi composto por 24 colunas e 728 linhas, onde as 23 primeiras colunas referem-se aos valores do NVDI, e a última, à cobertura do solo. A metodologia utilizada teve como base o modelo CRISP-DM (Cross Industry Standard Process for Data Mining). Modelos preditivos para classificar dados sobre essas culturas foram elaborados e avaliados por algoritmos de aprendizado de máquina, tais como árvores de decisão (J48 e PART), florestas aleatórias (Random Forest). A seleção de atributos melhorou os valores do índice Kappa e a acurácia dos modelos. Foram geradas regras de classificação para mapear as culturas estudadas (soja, milho e algodão). Os resultados revelaram que os algoritmos de aprendizado de máquina são promissores para o problema de classificação de cobertura do solo. Em particular o algoritmo J48, utilizado em conjunto com a seleção de atributos feito por meio de análise de componentes principais, destacou-se em relação ao demais pela simplicidade e pelos valores apresentados. Os resultados também evidenciaram a presença de regiões de cultivo do algodão em outras áreas do estado, fora daquelas estudadas.

Palavras chaves: Mineração de dados, Sensoriamento remoto, Mapeamento da cobertura do solo, Reconhecimento de padrões, Modelagem de dados.

Soluções auto-similares para equações dissipativas do tipo escalar ativo em espaços de Fourier-Besov-Morrey

Lidiane dos Santos Monteiro Lima

Neste trabalho estudamos uma família de equações dissipativas do tipo escalar ativo com campos velocidades acoplados via operadores do tipo multiplicador de Fourier. Estas equações foram introduzidas em [1, 2] e incluem acoplamentos que comportam-se moralmente como derivadas positivas. Especificamente falando, estudamos a família de equações
$$\begin{equation}\tag{1}\begin{cases}\frac{\partial \theta }{\partial t}+\kappa \left( -\Delta \right)^{\gamma}\theta +u\cdot \nabla_{x}\theta =0, & \qquad x\in \mathbb{R}^{n}\ ,\ t>0,\ \\[3mm] \theta (x,0)=\theta_{0}(x), & \qquad x\in \mathbb{R}^{n},\ \end{cases}\end{equation}$$ onde $n\geq 2$, $k\geq 0$ e $\gamma >0$. O campo velocidade $u$ é obtido do escalar $\theta$ através do operador linear $$\begin{equation}\tag{2}u=P[\theta ],\text{ tal que }\nabla \cdot u=0\text{ e }u_{k}=\sum_{j=1}^{n}a_{jk}\mathcal{R}_{j}\Lambda ^{-1}P_{j}[\theta ],\;\;\text{para }\ 1\leq k\leq n, \end{equation}$$ onde $\Lambda =(-\Delta )^{\frac{1}{2}}$, $\mathcal{R}_{j}=-\partial_{j}(-\Delta )^{-\frac{1}{2}}$ é a $j$-ésima transformada de Riesz, $a_{jk}$'s são constantes e $\widehat{P_{j}[\theta ]}(\xi )=P_{j}(\xi )\widehat{\theta }(\xi )$.
Assumimos que os símbolos $P_{j}(\xi )\in C(\mathbb{R}^{n}\backslash\{0\})$ e satisfazem $|P_{j}(\xi )|\leq C|\xi |^{\beta }$ para todo $\xi\neq 0$ e para todo $1\leq j\leq n$. Consideramos ainda os valores $1\leq\beta < 2\gamma < \frac{n+\beta +1}{2}$ para a dissipação fracionária e provamos boa colocação global para o problema (1)-(2) com dado inicial pequeno no espaço de Fourier-Besov-Morrey, o qual contém funções homogêneas e funções fortemente singulares. Os índices dos espaços são escolhidos para permitir a existência de soluções auto-similares dependendo da homogeneidade do dado inicial e do operador velocidade. Também provamos que as soluções são assintóticamente estáveis, e em particular obtemos uma classe de soluções assintóticamente auto-similar. Nossos resultados podem ser aplicados de forma unificada para algumas equações modelando dinâmica de cristais, equação de Burguer, equação da vorticidade em 2D, modificada SQG, equação magneto-geostrófica, entre outras.

Palavras chaves: Equações do tipo escalar ativo, Boa-colocação global, soluções auto-similares, Espaço de Fourier-Besov-Morrey

Uma Nova Abordagem para Encontrar a Base do Precondicionador Separador para Sistemas Lineares no Método de Pontos Interiores

Porfirio Suñagua Salgado

Em Programação Linear uma variante do Método de Pontos Interiores a fim de resolver iterativamente sistemas lineares de grande porte mal condicionados necessita de um precondicionador chamado Precondicionador Separador, o mesmo que é construído por um sofisticado processo de identificação de colunas linearmente independentes da matriz A do problema de programação linear baseado em uma fatoração retangular LU que envolve uma reordenação de colunas até que são satisfeitas certas condições, ao mesmo tempo, esse processo prevê diminuir o enchimento na matriz $L$, então esse processo às vezes pode resultar computacionalmente caro. A classe de procondicionador separador funciona bem perto de uma solução ótima onde as matrizes ficam bem mal condicionadas. Uma implementação eficiente deste algoritmo é dividida em duas fases, na primeira fase o sistema de equações normais é resolvido pelo método de gradientes conjugados precondicionado com o precondicionador construída pela fatoração controlada de Cholesky, na segunda fase o sistema aumentado é resolvida com o precondicionador separador.
Neste trabalho, nós propomos implementar o método de pontos interiores com o parâmetro de penalização a fim de reduzir o mal condicionamento da matriz diagonal envolvida quando estamos perto de uma solução ótima. Além disso, nós propomos uma nova abordagem para encontrar a base para o precondicionador separador mediante um processo de fatoração retangular padrão aplicada a uma matriz escalada de $A^T$, espera-se que a base encontrada seja melhor condicionada que do método de fatoração retangular LUret de Oliveira e Sorensen. Uma vez que a matriz de programação linear passa por uma etapa de preprocessamento, então supomos que essa matriz é de posto completo, de modo que a fatoração LU proposta sempre vai existir. Por último o desafio é aplicar alguma heurística de fatoração LU que evite um enchimento excessivo.

Palavras-chave: Programação Linear, Precondicionador Separador, Fatoração Retangular, Base da Transposta.

Subgrupos verbais em grupos residualmente finitos

Raimundo de Araújo Bastos Júnior

Sejam $G$ um grupo e $HP(G)$ o seu radical de Hirsch-Plotkin. Uma questão fundamental é entender como se relaciona o subgrupo $HP(G)$ e o conjunto dos Engelianos de $G$. Um célebre resultado de K. Gruenberg garante que num grupo solúvel $G$ o conjunto dos Engelianos coincide com $HP(G)$.
J. Wilson mostrou que se $G$ é um grupo residualmente finito e todos os seus elementos são $n$-Engelianos, então $G=HP(G)$. Em geral, para grupos residualmente finitos o conjunto dos Engelianos contém propriamente $HP(G)$. Nosso objetivo é determinar condições suficientes para que certos elementos de um grupo residualmente finito estejam no radical de Hirsch-Plotkin. O resultado principal que apresentaremos é o seguinte Teorema:

Teorema. Seja $m,n$ inteiros, $v$ um comutador multilinear e $w = v^{m}$. Se $G$ é um grupo residualmente finito no qual todos os $w$-valores são $n$-Engelianos, então o subgrupo verbal $w(G)$ está contido em $HP(G)$.