UMA ILUSTRAÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER


A função f(x) = x2 pode ser representada na forma de uma série de Fourier no intervalo (-Pi,Pi) através de

Vamos ver o quanto fidedigna é essa representação. A primeira soma parcial da série é

Na figura abaixo comparamos a função original f(x) = x2 com a primeira soma parcial da sua série de Fourier.

A segunda soma parcial da série é

Vamos agora comparar a função original com a primeira e segunda somas parciais.


A terceira soma parcial é

Incluindo essa soma parcial na comparação temos


Como podemos ver, bastam poucos termos da série de Fourier para termos uma boa representação da função f(x) = x2 no intervalo (-Pi,Pi). Fora desse intervalo a série de Fourier não representa a função f(x) = x2 mas a extensão periódica dessa função quando restrita ao intervalo (-Pi,Pi).


Vamos agora considerar uma função descontínua, por exemplo sign(x) = |x|/x, que vale +1 para x > 0 e -1 para x < 0. A sua representação em série de Fourier no intervalo (-Pi,Pi) é dada por

Como no caso anterior, vamos comparar os gráficos da função e das somas parciais da série de Fourier. A primeira soma parcial é

e seu gráfico junto com o da função sign(x) é

Para a segunda soma parcial temos

Comparando o gráfico com os anteriores temos


A terceira soma parcial é

e incluindo seu gráfico na comparação temos



A quarta soma parcial é

Com mais esse gráfico temos



Nesse exemplo, para representar com certa fidedignidade a função sign(x) por uma série de Fourier, precisamos levar em conta mais termos da série de Fourier do que no exemplo anterior. Para a décima soma parcial da série de Fourier, o gráfico comparando-a com a função original é


e para a vigésima soma parcial,



Como no caso anterior, temos uma representação da função sign(x) no intervalo (-Pi,Pi), enquanto em toda reta temos uma representação da extensão periódica da função restrita ao intervalo considerado. Evidentemente, o que diferencia um exemplo do outro é que no presente caso a função f(x) = sign(x) apresenta uma descontinuidade em x = 0. Podemos notar, como afirma o teorema de Fourier, que a série converge para o valor médio dos limites laterais. No caso do ponto x = 0, o limite pela esquerda de f(x) é -1 enquanto o limite pela direita de f(x) é 1, de modo que o valor médio é 0, que é justamente o ponto de convergência, como mostram claramente os gráficos acima. Além disso, podemos notar a presença do fenômeno de Gibbs, que é o comportamento fortemente oscilatório das somas parciais à medida que se aproxima o ponto de descontinuidade. Vamos extrair dos gráficos acima a parte correspondente ao fenômeno de Gibbs:


Podemos notar que o ponto de maior (e também o de menor) amplitude das oscilações se aproxima da descontinuidade à medida que acrescentamos mais termos às somas parciais. Entretanto, não é possível eliminar essas oscilações. Pode-se mostrar que os extremos das oscilações estão em torno de 18% do valor da função, ou seja, como nesse caso f(x) = 1 as oscilações ocorrem (aproximadamente) no intervalo 0,82 < y < 1,18.


As séries de Fourier podem ser generalizadas usando outros conjuntos de funções além de senos e co-senos. Podemos também utilizar, dentro de certos intervalos adequados, funções de Bessel Jn(x), polinômios de Legendre Pn(x), etc. Por exemplo, a série de Fourier-Legendre no intervalo (-1,1) da função f(x) = sign(x) é

onde (a)n = a(a+1)...(a+n-1) é o símbolo de Pochhammer. A primeira soma parcial é

e o gráfico da função sign(x) e dessa primeira soma parcial é

A segunda soma parcial é

e seu gráfico em conjunto com os anteriores é

A terceira soma parcial é

e incluindo esse gráfico na comparação com os anteriores temos

A quarta soma parcial é

Incluindo mais essa soma parcial na comparação temos


Podemos notar que o comportamente das somas parciais é claramente semelhante ao caso anterior, ou seja, independe do fato que no caso anterior as funções usadas no desenvolvimento da série serem senos e co-senos e agora serem polinômios de Legendre. O gráfico com a décima soma parcial é



com a vigésima soma parcial é


e com a trigésima soma parcial é


Comparando os gráficos, temos


Podemos notar, como esperado, um fênomeno do tipo Gibbs.